Living-Dream 系列笔记 第87期

点双连通分量

• 定义：若在无向图 \(G\) 中，存在一个极大子图 \(G'\)，使得 \(G'\) 中没有割点，则称 \(G'\) 为 \(G\) 的一个点双连通分量，记作 \(\texttt{V-DCC}\)。

• 性质：一个点可能在多个 \(\texttt{V-DCC}\) 中，且这些点一定为割点。

• 求取：我们使用类似强连通分量求取的方法，使用一个栈存储访问过的节点，每当找到一个「可能的割点」（即不一定两边都有联通块），就将它以及后边的节点记入同一个 \(\texttt{V-DCC}\)，注意一下割点不能从栈中删除即可。

P8435

模板。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=2e6+5;
int n,m,rt,cnt,id;
int dfn[N],low[N];
vector<int> G[N],dcc[N];
stack<int> stk;
 
void tarjan(int cur){
	dfn[cur]=low[cur]=++cnt;
	stk.push(cur);
	if(cur==rt&&!G[cur].size()){
		dcc[++id].push_back(cur);
		return;
	}
	for(int i:G[cur]){
		if(!dfn[i]){
			tarjan(i);
			low[cur]=min(low[cur],low[i]);
			if(low[i]>=dfn[cur]){
				int now=0; ++id;
				while(!stk.empty()&&now!=i){
					now=stk.top();
					dcc[id].push_back(now);
					stk.pop();
				}
				dcc[id].push_back(cur);
			}
		}
		else
			low[cur]=min(low[cur],dfn[i]);
	}
}
 
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		cin>>u>>v;
		if(u==v)
			continue;
		G[u].push_back(v);
		G[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(!dfn[i])
			rt=i,tarjan(i);
	cout<<id<<'\n';
	for(int i=1;i<=id;i++){
		cout<<dcc[i].size()<<' ';
		for(int j:dcc[i])
			cout<<j<<' ';
		cout<<'\n';
	}
	return 0;
}

CF51F

诈骗题。

首先看到毛毛虫是一个树形结构，不难想到边双缩成一棵树（其实严格来说是一棵树加很多个自环，但是毛毛虫允许自环所以这不重要）。

考虑到毛毛虫需要一条主链，从贪心的角度考虑，选直径是最优的。

那么其他的点就必须操作吗？画图可以发现，叶子节点无需操作，因为它们可以在其他点合并的过程中带到主链的旁边去。注意这里的「叶子节点」是除去直径两端的叶子节点。

然后这题就没了。时间复杂度是 \(O(n+m)\) 的。

确实不难，个人认为最重要的是从毛毛虫本身的特点出发思考说需要用的算法，也即挖掘性质。

code

//
//  绝世好（唐）题.cpp
//
//
//  Created by _XOFqwq on 2024/11/23.
//
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=2e3+5,M=1e5+5;
int n,m;
int p,cnt,tot,id,dia;
int sumsiz,one,sumv;
int dfn[N],low[N];
int dcc[N],blk[N],siz[N],d[N];
bool ok[N][N];
bool bridge[M];
struct EDGE{
    int v,i;
};
vector<EDGE> G[N];
vector<int> V[N];
 
void tarjan(int cur,int edg){
    dfn[cur]=low[cur]=++cnt;
    for(auto nxt:G[cur]){
        if(!dfn[nxt.v]){
            tarjan(nxt.v,nxt.i);
            low[cur]=min(low[cur],low[nxt.v]);
            if(low[nxt.v]>dfn[cur])
                bridge[nxt.i]=1;
        }
        else if(nxt.i!=edg)
            low[cur]=min(low[cur],dfn[nxt.v]);
    }
}
void getdcc(int cur){
    dcc[cur]=id;
    siz[id]++;
    for(auto nxt:G[cur]){
        if(bridge[nxt.i]||dcc[nxt.v])
            continue;
        getdcc(nxt.v);
    }
}
void dfs(int cur){
    blk[cur]=tot;
    sumsiz+=siz[cur]-1;
    one+=(d[cur]==1);
    sumv++;
    for (int i:V[cur]) {
        if (!blk[i]) {
            dfs(i);
        }
    }
}
void getdia(int cur,int fa,int sum){
    if(sum>=dia){
        dia=sum;
        p=cur;
    }
    for(int i:V[cur]){
        if(i==fa)
            continue;
        getdia(i,cur,sum+1);
    }
}
 
int main(){
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin>>n>>m;
    for (int i=1,u,v; i<=m; i++) {
        cin>>u>>v;
        G[u].push_back({v,i});
        G[v].push_back({u,i});
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (!dfn[i]) {
            tarjan(i,0);
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        if (!dcc[i]) {
            ++id,getdcc(i);
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        for (auto nxt : G[i]) {
            if (dcc[i]!=dcc[nxt.v]&&!ok[dcc[i]][dcc[nxt.v]]) {
                V[dcc[i]].push_back(dcc[nxt.v]);
                V[dcc[nxt.v]].push_back(dcc[i]);
                d[dcc[i]]++;
                d[dcc[nxt.v]]++;
                ok[dcc[i]][dcc[nxt.v]]=ok[dcc[nxt.v]][dcc[i]]=1;
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for (int i=1; i<=id; i++) {
        if (!blk[i]) {
            ++tot;
            sumsiz=one=p=sumv=0;
            dia=-1e9;
            dfs(i);
            getdia(i,0,1);
            getdia(p,0,1);
            ans+=sumsiz+sumv-(dia+one-(!one?0:2));
        }
    }
    ans+=tot-1;
    cout<<ans;
    return 0;
}

CF962F

tj。