错题集
主要记录模拟赛错题。
要查找某一天的记录，Ctrl+F 即可。
每次考试前看一遍！！！
P1722 矩阵 II #tag:8-10 下午测试 401
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错误思路：brute-force。
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正确思路：dp，令 \(dp_{i,j}\) 表示以 \(i\) 结尾放了 \(j\) 个红色算筹的方案数，初始 \(dp_{0,0}=1\)，答案 \(dp_{2n,n}\)（因为最后红、黑色要一样多），转移 \(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j-1}\)（\(i \in [1,2n],j \in [\lceil \frac{i}{2} \rceil,i]\))，因为红色算筹要比黑色多。
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错误原因：一看到题就不自觉地往爆搜、模拟这方面想，没有牢记“求方案数又不输出方案，考虑 dp”。
P6188 [NOI Online #1 入门组] 文具订购 #tag:8-10 下午测试 401
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错误思路：枚举 \(a,b,c\)，选最优方案。由于计算 \(c\) 时会有浮点数误差，导致 WA。
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正确思路：从大到小枚举成套数（共 \(\frac{n}{14}\) 套）。要求物品总数尽可能大，则尽量多买笔记本。若余数为 \(0\)，直接加上能买的数量即可；若余数为 \(1\)，退掉一本笔记本换一支笔即可；若余数为 \(2\)，退掉两本笔记本换一支圆珠笔即可。
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错误原因：没有考虑浮点数误差，也没有思考更简易的枚举方式。
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总结：
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尽量不要用到浮点数参与运算，能化成整数的就化成整数。
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要训练自己往简洁的方式想。
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当某题情况较少时，直接分讨。
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P2678 [NOIP2015 提高组] 跳石头 #tag:8-10 下午测试 401
错误思路：二分，check 时只检查了相邻两块石头的距离是否小于 \(x\)，是就移走当前石头。
正确思路：有可能移走当前石头后距离仍小于 \(x\)，这时需要接着移。
错误原因：做过的题没有重复巩固。check 思路没有理清。以后记得在草稿上写好再敲代码。
P2040 打开所有的灯 #tag:8-10 下午测试 401
错误思路：dfs，没有标记。
正确思路：应当标记每个点，因为一个点只能开关至多一次，再多了就无效。
错误原因：没有想清楚所有要点就开写。
P2029 跳舞 #tag:8-10 下午测试 401
错误思路 / 原因：没写。
正确思路：dp，令 \(dp_{i,j}\) 表示以 \(i\) 结尾跳了 \(j\) 步的最大收益，初始 \(dp_{i,0}=dp_{i-1,0}-s_i\)，答案 \(\max\{dp_{n,i}\}\)，转移 \(dp_{i,j}=\max(dp_{i-1,j-1}+s_i,dp_{i-1,j}-s_i)\)，当 \(j \bmod t=0\) 时，\(dp_{i,j}=\max(dp_{i-1,j-1}+s_i+b_i)\)。
总结：求最大收益又不输出方案，考虑 dp，要敢想、敢写 dp。
B3626 跳跃机器人 #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：dp，但题目有后效性。
正确思路：bfs。
总结：想 dp，先要考虑先决条件：是否有后效性 / 最优子结构。
B3618 寻找团伙 #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：dfs，但写得过于复杂导致莫名错误。
正确思路：dfs，将每个人的能力表示为二进制数，则权重之和即为所有人的异或和。
总结：
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看到二次幂，想到二进制表示。
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看到奇为 \(0\)，偶为 \(1\)，想到异或。
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还是要训练自己不断往简洁的方面想。
P3612 [USACO17JAN] Secret Cow Code S #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：brute-force。
正确思路：因为字符串每次都是复制出来的，所以第 \(n\) 个字符一定能对应到第一个字符串的某个字符。于是递归分段处理（实现不能用真的递归，常数会很大），\(n<\frac{len}{2}\) 直接继续，\(n>\frac{n}{2}\) 则判断是否为第一个字符，若是则 \(n=\frac{len}{2}\)，否则 \(n=n-\frac{len}{2}-1\)（\(n\) 表示当前下标，\(len\) 表示当前长度）。
总结：
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处理字符串复制的题目，考虑递归分段处理。
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实现时不能用递归，常数很大。
P2072 宗教问题 #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：dp，令 \(dp_i/f_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最少集体数 / 最小危险值。初始 \(dp_0=f_0=0\) 其余 \(\infty\)。转移 \(dp_i=\min(dp_j+1,dp_i),f_i=\min(f_j+cnt,f_i)\)（\(cnt\) 表示当前 \(i \sim j\) 的宗教种类数，转移时顺便维护即可），注意 \(j\) 需要倒序 \(i \to 1\) 枚举，因为正序枚举可能没到 \(i\) 时 \(cnt\) 就大于 \(k\) 了，从而没有转移。答案：\(dp_n,f_n\)
总结：
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最值问题想 dp。
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注意诸如循环顺序这种细节。
P1326 足球 #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：结论题。要求赢的分最大，则只可能输一场或不输（不输要满足 \(s \ge t\)），输的分最大同理，也只能赢一场或不赢（不赢要满足 \(t \ge s\)），分讨即可，具体见代码。
总结：看到 \(10^9\) 数据范围，考虑是不是结论题。
P2207 Photo #tag:8-17 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：我们可以把问题想像成拍了一张 \(1 \sim n\) 区间的照片，再在中间分割，求分割的最小次数，这便转化为了区间选点问题。对于每个分割点，我都想使其被更多的区间包含，这样分割点会更少。于是我们将区间按右端点从小到大排序，每次选右端点前面那个即可（不能选右端点不然分了等于没分）。
总结：学到了区间选点模型，以后看到区间问题可以尝试将其转化为此模型。
P4379 [USACO18OPEN] Lemonade Line S #tag:8-18 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：贪心，将每头牛按 \(a_i\) 从大到小排序，依次放置奶牛到队列即可。从大到小排序是因为 \(a_i\) 更大的奶牛更容易进队，从而使后面 \(a_i\) 小的奶牛更不容易进队，使得队列牛数更小。
总结：
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求最值问题，考虑 dp 未果，或感觉比较神秘的，考虑贪心。
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考虑贪心，先考虑排序。
P3817 小A的糖果 #tag:8-18 下午测试 401
错误思路：对于每对 \(a_i,a_{i+1}\)，若 \(a_i+a_{i+1}>x\)，则对 \(a_{i+1}\) 进行操作。
错误原因：\(a_{i+1}\) 可能不够减，并且没开 long long。
正确思路：\(a_{i+1}\) 不够减就减 \(a_i\)。
总结：以后要仔细考虑特殊 / 边界情况，并多用边界数据进行测试。
P2772 寻找平面上的极大点 #tag:8-18 下午测试 401
错误思路：brute-force。
正确思路：按 \(x\) 为第一关键字，\(y\) 为第二关键字排序。对于每个点，只有它前面的点才有可能支配它，而他们的 \(x\) 一定大于当前点的 \(x\)。动态维护 \(y\) 最大值并比较即可。
总结：以两维作条件的题，可以固定一维，再处理另一维。
P1394 山上的国度 #tag:8-18 下午测试 401
错误思路：没写完。
正确思路：用并查集双向合并再判断所有点是否在一个集合即可。注意合并时只有 \(u\) 与 \(v\) 的根可以流通，并不代表 \(u\) 的根与 \(v\) 的根也可以流通。
总结：并查集不能一味照板子写，要思考哪里变化了。其他算法也是。
P1395 会议 #tag:8-18 下午测试 401
错误思路：没有输出编号最小的。
正确思路：用 vector 记录重心并排序。
总结：审题很重要。
P2240 【深基12.例1】部分背包问题 #tag:8-19 下午测试 401
错误思路：贪心，但是排序时 cmp 写成了除法导致精度误差，并且没有判断最后是否满了就直接加。
正确思路：贪心，按性价比（即单位价格）排序即可。这是因为分割金币以后性价比不变，选性价比更高的一定更优。
总结：
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慎用除法、浮点数，避免精度误差！！！
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思路一定要先打好草稿！！！！！
P5650 基础字符串练习题 #tag:8-19 下午测试 401
错误思路：brute-force。
正确思路：\(1\) 转成 \(-1\)，\(0\) 转成 \(1\)，然后跑最大子段和。
总结：要牢记最大子段和的套路。
P6023 走路 #tag:8-19 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：结论题。对于任意两天，设它们走的步数，已经获得的分数以及接下来每步可得的积分分别为 \(a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\)，不妨设 \(c_1 \ge c_2\)，则显然我们有 \(b_1+a_2 \times c_1 \ge b_1+a_2 \times c_2 \ge b_1+b_2\)。（\(a_2 \times c_2 \ge b_2\) 是因为后面可能还有激励）。于是我们发现将所有步数放在一天走完即可达到最优。
总结：看到极大数据范围，考虑结论题。
P6014 [CSGRound3] 斗牛 #tag:8-19 下午测试 401
错误思路：brute-force。
正确思路：枚举两个数的余数，易得若存在 \(n-2\) 个数的和为 \(10\) 的倍数，则总点数之和一定与剩下两个数的和在模 \(k\) 意义下同余。根据这个判断即可，具体见代码。
总结：做题找数据范围小的地方入手（本题余数只有 \(1 \sim 10\)）。
P2420 让我们异或吧 #tag:8-19 下午测试 401
错误思路：没写完。
正确思路：倍增维护树上前缀和即可（就是预处理 LCA 的部分顺便维护即可）。
B3828 [NICA #2] 优秀正整数 #tag:8-20 下午测试 401
错误思路：枚举 \(i\)，判断 \(i \times i\) 是否为优秀正整数即可。
正确思路：同错误思路。
错误原因：取模次数太少。
总结：要取模的题，每一步都得取模。
P1878 舞蹈课 #tag:8-20 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：用小根堆维护每一对跳舞的人即可，具体实现细节见代码。
总结：想出 brute-force 之后，要思考哪部分可以优化，再选较容易优化的部分优化。如这题就是选绝对值最小的可以用小根堆维护。
P6092 [CEOI2012] 工作规划 #tag:8-20 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：二分所需机器数，若没安排完且当前机器不会超时就安排上，否则取完成任务时间最靠前的机器做（前提是也不超时）即可，其中第二个过程可以用小根堆维护。
总结：二分 + 贪心 以及 小根堆优化 都是普及组模拟赛的参考点，必须牢记。
B3752 [信息与未来 2019] 新斐波那契数列 #tag:8-22 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：发现所有新斐波那契数列里的数都可以表示为形如 \(k \times a+c\) 的表达式，然后又发现项数大约是 \(\log\) 级别的，于是枚举 \(n\)，递推计算 \(k_i,c_i\)，若当前 \(n\) 满足 \(k_n \times a+c_n=x\)，则输出即可。
总结：\(10^9\) 数据范围，考虑数学结论！！！（找规律）
P8669 [蓝桥杯 2018 省 B] 乘积最大 #tag:8-22 下午测试 401
错误思路：dp，但没有最优子结构。
正确思路：贪心，\(k\) 为偶数就两个两个选，每次看选两正数还是两负数哪个更大。为奇数时，若最大的一个是正数则直接选它，否则说明全是负数，每次选两个时要比较哪个更小（因为第一个数是负数）。
总结：
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dp 要考虑先决条件。
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dp 不行时就考虑贪心。
P1141 01迷宫 #tag:8-22 下午测试 401
错误思路：dfs 找联通块，但是看错题了，以为是 \(n \times m\) 的矩阵。
正确思路：同错误思路。
总结：审题！！！把题目条件列在草稿纸上。
P2700 逐个击破 #tag:8-22 下午测试 401
错误思路：对于每条连接敌对城市的边断掉。但是有可能存在比该边更小的边，断掉它以后两个敌对城市也不在一个联通块里了。这很容易 hack。
正确思路：容易发现将 \(k\) 个敌对城市不联通，需要断掉 \(k-1\) 条边。考虑将边按边权从小到大排序，依次考虑所有边并尝试断掉，同时使用并查集维护联通性。但是并查集不支持删除，于是正难则反，将边按边权从大到小排序，考虑加 \(n-k\) 条边即可。
总结：学到了正难则反思想。
B3694 数列离散化 #tag:8-23 下午测试 401
错误原因：没开 map。
总结：考试一定要留出 \(15\) 分钟检查。
P2802 回家 #tag:8-23 下午测试 401
错误思路：纯 DFS。
正确思路：DFS + 剪枝，或 BFS。
总结：搜索尽量用 BFS，用 DFS 就一定得剪枝。
P2085 最小函数值 #tag:8-23 下午测试 401
错误思路：枚举 \(x\)，每次取 \(F_i(x)\) 的最小值，但是这是错的，因为假设第一轮选了 \(F_3(1)\)，但有可能存在 \(F_i(1)<F_3(2)\) 且 \(i \neq 3\)，因此不能直接跳过。
正确思路：用优先队列维护 \(F_i(x)\) 的最小值，每次弹出队头，并插入下一个即可。
总结：当觉得问题过于简单时，想一想是不是错了。
P1661 扩散 #tag:8-23 下午测试 401
错误思路：floyd，但是抄板子。
正确思路：floyd / 二分 + dsu。
总结：不能一味抄板子，要想想哪里要改动的。
P1658 购物 #tag:8-23 下午测试 401
错误思路：dp。
正确思路：贪心。
很容易发现我们第一个一定选 \(1\)，如果连 \(1\) 都不选，那么 \(1\) 一定凑不出，于是无解。
接着手玩：
1 1 -> 1 2
1 2 -> 1 2 3
1 3 -> 1 3 4
我们发现，前两组都能凑出连续的数，到第三组就凑不出了。
这是因为 \(3>2\)，因此 \(2\) 无法被凑出。
更一般的，我们发现，令 \(sum\) 表示目前序列长度，则若当前要添加的数 \(> sum+1\)，则一定不行，否则一定可以。
继续，对于可行的数，它们对序列长度的贡献即为他们本身。
于是我们将 \(a[]\) 排序，每次从大到小枚举直到可行，然后添加之即可。
总结：dp 不行想贪心，贪心就要玩样例。
P1165 日志分析 #tag:8-24 下午测试 401
错误思路：优先队列 + 栈，待查错。
正确思路：维护 \(dp_i\) 表示栈顶编号 \(i\) 的最大值，每次 \(dp_i=\max(dp_{i-1},x)\)（\(x\) 为插入的数）即可。
总结：对于普及组数据结构题，考虑维护前缀和 / 积 / 最值等等。
P1258 小车问题 #tag:8-24 下午测试 401
错误思路：推式子，但是推错了。
正确思路：二分第一个人坐车到的点，再计算两人分别到达目的地的时间，若第一个人时间 \(>\) 第二个人时间则它要坐少一会车，猜小，否则猜大即可。
总结：对于数学问题（特别是这种行程问题），一定要画图再推式子。如果推出来的式子太复杂，则要审视是否错了。
P2193 HXY和序列 #tag:8-24 下午测试 401
错误思路：dfs。
正确思路：dp，令 \(dp_{i,j}\) 表示以 \(i\) 结尾最后一个数选了 \(j\) 的方案数。初始：\(dp_{1,i}=1\)，答案：\(dp_{n,i}\)，转移：\(dp_{i,j}=dp_{i,j}+dp_{i-1,k}\)（\(k\) 为 \(j\) 的因数）。
总结：能 dfs 的，一般能 dp。求方案数，想 dp。
P3915 树的分解 #tag:8-24 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：维护子树大小，等于 \(k\) 的就切掉，最后判断 \(siz_1\) 是否为 \(0\) 即可。
总结：要敢想敢写。感觉是对的就一定先写，不要犹豫。
P1589 泥泞路 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：模拟，若上次长度有余数则当前长度 \(-1\)，若有重叠则减重叠部分。但是这一次的起点应该是上一次实际的终点（不一定是输入的，因为可能有余数），我没有记录。
正确思路：记录这个即可。
总结：这题有三种情况：全包含、有重叠、无重叠。写代码之前应当把这三种情况一一列举出来分别考虑，并且注意有余数、记录实际终点等细节。总之，要勤动笔，尤其是这种模拟题。
P3913 车的攻击 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：记录每行、列是否计算过，没有就加 \(n-1\)，否则加 \(1\)，但是有可能某个车的位置会算多次。
正确思路：整体思想，将行、列去重，得到总个数 \(x,y\)，则答案即为 \((x+y) \times n-x \times y\)。
总结：单独难以处理时，考虑整体处理。
P2694 接金币 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：没有考虑要等金币落下的情况。
正确思路：考虑即可。
总结：打草稿！
B3874 [GESP202309 六级] 小杨的握手问题 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：树状数组求正序对，但是没开 ll。
正确思路：开 ll 即可。
总结：逆序对开 ll！
P3884 [JLOI2009] 二叉树问题 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：求 LCA 写挂了，第一次跳的时候没有让 \(x,y\) 跳到同一层（即写成了 dep[dp[x][i]]>dep[y]）。
正确思路：改成 >= 即可。
总结：LCA 板子背的不熟。还得背几遍。
P2782 友好城市 #tag:8-25 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：\(O(n \log n)\) 求最长上升子序列的板子。维护 \(dp_i\) 表示以 \(i\) 结尾的最长上升子序列的最小末尾值，对于每个 \(i\)，二分出最小的满足 \(dp_x < y_i\) 的最小 \(x\)，其中 \(y_i\) 为北岸友好城市的坐标（因为 \(dp_x\) 单调递增，因此可以二分），尝试让 \(y_i\) 接在 \(dp_l\) 后面并更新最长上升子序列的长度即可。
P1464 Function #tag:9-25 下午测试 401
错误思路：对于读入结束的条件判断错误（写成了 a!=-1&&b!=-1&&c!=-1）。
总结：审题！！！以后防范此类错误的发生。
P1095 [NOIP2007 普及组] 守望者的逃离 #tag:9-25 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：对于全用闪烁魔法的情况做一遍 dp，然后看是否能增加一些跑步来使行走的路程更长。
总结：对于这种有多种情况的 dp，可以先全使用一种，再在此基础上考虑另一种。
P1334 瑞瑞的木板 #tag:9-25 下午测试 401
错误思路：直接按木板长度从大到小排序，然后依次切割。
错误原因：不一定当前的木板就是最长的，有可能其余更小的木板拼成的长木板比当前木板更长。
正确思路：将合并果子的套路反过来就成了本题。
总结：合并果子的套路十分常见，以后遇到合并 / 拆分且价值 / 体力是两个元素的和的题，考虑这种套路。
P1363 幻象迷宫 #tag:9-25 下午测试 401
错误思路：搜索，若将地图内的点全走完就判定为合法。
错误原因：显然很容易被 hack。
正确思路：因为矩阵是重复的，所以考虑多带两个参数，即当前矩阵的编号 \((xx,yy)\)，若能走到了一个点，它已经被走过且与上次到达的矩阵编号不同，说明它绕了一圈回到了原点，即为合法。
总结：想出了一个思路必须尝试证明，对于这种显然错误的思路就不要再尝试写出来了。
P1348 Couple number #tag:9-26 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：
当 \(x,y\) 奇偶性不相同时，\(x+y,x-y\) 都为奇，乘起来也为奇。
否则，\(x+y,x-y\) 都为偶，乘起来为 \(4\) 的倍数。
综上，当 \(n\) 为奇数或为 \(4\) 的倍数时，它就是 Couple number。
总结：对于这种式子要更敏感一些，然后尝试从奇偶性发现规律。再不行还可以打表。
P1403 [AHOI2005] 约数研究 #tag:9-26 下午测试 401
错误思路：写了一个若至状压 + 组合数学，因为时间复杂度分析错误，沦为与暴力老哥同分 /ll。
正确思路：容易发现每个数 \(i\) 在 \(1 \sim n\) 中都有 \(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor\) 个数能整除它，这便是 \(i\) 对于答案的贡献，累加即可。
总结：对于自己想出来的思路，要仔细验证正确性与时间复杂度。同时对于求和类题目，可以考虑换一种角度并采用算贡献思想。
P3737 [HAOI2014] 遥感监测 #tag:9-26 下午测试 401
错误思路：按横坐标排序，每次选取横坐标差值不超过 \(r\) 的点，取它们横坐标的中位数。
错误原因：横坐标差值不超过 \(r\) 不代表就能观测到，必须两点间距离不超过 \(r\)。
正确思路：区间选点，求出每个点能被观测到的放置区间，按照右端点排序（为了保证接下来只要考虑上次选的点），每次若上次选的点不能覆盖当前区间就选右端点即可（因为最有可能覆盖之后的区间）。
总结：对于区间覆盖问题，一定要考虑区间选点模型！！！
P1404 平均数 #tag:9-26 下午测试 401
错误思路：暴力。
正确思路：因为若存在某个区间的平均数为 \(x\)，则所有 \(\le x\) 的平均数都是合法的，存在单调性，考虑二分。若区间 \([l,r]\) 的平均数为 \(x\)，则有 \(\frac{\sum^r_{i=l} a_i}{r-l+1} \ge x\)，转化一下可得 \(\sum^r_{i=l} (a_i-x) \ge 0\)，于是枚举 \(r\)，动态维护前缀和 \(s_i\) 以及与 \(r\) 相隔至少 \(m\) 且最小的 \(s_{l-1}\)（维护最小的是为了让区间和最大），每次判断 \(s_r-\min\{s_{l-1}\} \ge 0\) 即可。
总结：关于平均数的题，考虑推式子以及二分。
P1385 密令 #tag:9-26 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：首先求方案数考虑 dp。然后发现不好 dp，于是发掘性质，发现字典序总和不变。于是多带一维，令 \(dp_{i,j}\) 表示长度为 \(i\) 且字典序总和为 \(j\) 时的方案数。答案就是 \(dp_{n,all}\)（\(all\) 为原字符串的字典序总和），初始状态就是 \(dp_{1,i}=1\)（长度为 \(1\) 时无法操作），转移就是 \(dp_{i,j}=dp_{i,j}+dp_{i-1,j-k}\)（\(k\) 是其中一个字母的字典序）。
总结：求方案数考虑 dp！！！当不好 dp 时，尝试发掘性质，增加维度。
B3958 [GESP202403 四级] 相似字符串 #tag:9-27 下午测试 401
错误原因：认为 insert 是在后面插入，实则是在前面插入。
错误思路 & 正确思路：过于简单，略。
总结：记住这个函数的用法即可。
P2239 [NOIP2014 普及组] 螺旋矩阵 #tag:9-27 下午测试 401
错误思路：暴力，还打挂了。
正确思路：将整个矩阵分为 \(n\) 圈，对于每个圈单独处理，具体见代码。
总结：对于此类无法直接模拟的模拟题，考虑分段找规律。然后平时做题要多训练自己打部分分的能力。
P2009 跑步 #tag:9-27 下午测试 401
错误思路：没写。
正确思路：floyd 板子。
总结：每个题最多想 15 min，注意时间分配。
P10725 [GESP202406 八级] 最远点对 #tag:9-27 下午测试 401
错误思路：暴力，还打挂了。
正确思路：这个题目求的东西很像直径，于是我们效仿直径的求法，直接找出以最深黑点与以最深白点为端点的最长链，取最大值即可。
总结：LCA 板子要多打！！！然后要思考题目的本质是什么。
