本期主要讲解二分答案的进阶。
例题
T1
二分需要的秒数，在 check 函数中对于每件衣服，若其在 \(x\) 秒内无法自然晒干，则使用烘干机，并令 \(sum\) 加上使用烘干机的秒数，最后判断 \(sum\) 是否 \(\le x\) 即可。
\(Trick\)：二分边界需要按数据范围尽可能开大，不能开小了。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,a,b;
int w[500031];
bool check(int x){
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int t=w[i]-x*a;
if(t>0)
sum+=ceil(t*1.0/b);
}
return sum<=x;
}
signed main(){
cin>>n>>a>>b;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
int l=0,r=5e5+1;
while(l+1<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
cout<<r;
return 0;
}
T2
基本思路与上期例题基本一致，仅需将 \(a\) 数组的每个数都 \(\times 100\) 转换为整数，最后输出 \(L \div 100\) 转换为小数。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,k;
int a[10031],maxx;
bool check(int x){
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i]/x;
return sum>=k;
}
signed main(){
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++){
double x;
cin>>x,a[i]=x*100,maxx=max(maxx,a[i]);
}
int l=0,r=maxx+1;
while(l+1<r){
double mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
cout<<setprecision(2)<<fixed<<l/100.0;
return 0;
}
T3
这题是个将最小值最大化的二分，还是考虑二分最近距离的最大值。
在 check 函数中，记录一个变量 \(last\) 保存上一头牛被安放的坐标。循环 \(n\) 个牛棚，若当前牛棚的坐标 \(x_i-last \ge mid\)，则令被安放的牛数 \(y \gets y+1\)，同时更新 \(last \gets x_i\)。最后判断 \(y\) 是否 \(\ge c\) 即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,c;
int a[100031];
bool check(int x){
int tot=0,last=-1e9;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]-last>=x) tot++,last=a[i];
return tot>=c;
}
int main(){
cin>>n>>c;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
sort(a+1,a+n+1);
int l=0,r=a[n]-a[1]+1;
while(l+1<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
cout<<l;
return 0;
}
习题
T1
与上一题类似，二分最短跳跃距离的最大值。
在 check 函数中，记录三个变量：\(sum\)、\(cur\) 和 \(nxt\)，分别表示移除的石头数、当前位置和下一个位置。初始均为 \(0\)。
枚举 \(n\) 个石头，若 \(d_{nxt}-d_{cur} < mid\)，则 \(sum \gets sum+1\)，否则令 \(cur \gets nxt\)。
注意 \(a_{n+1}\) 应当设为 \(L\)（不是二分左端点）。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s,n,m;
int a[50031];
bool check(int x){
int nxt=0,cur=0,sum=0;
while(nxt<=n){
nxt++;
if(a[nxt]-a[cur]<x) sum++;
else cur=nxt;
}
return sum<=m;
}
int main(){
cin>>s>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
a[n+1]=s;
int l=0,r=s+1;
while(l+1<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
cout<<l;
return 0;
}
T2
二分可用时间，在 check 函数中计算在 \(mid\) 时间内会消耗完的充电器需要补充的电量之和，与 \(mid \times p\) 比较即可。
注意保留六位小数。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps=1e-6;
double n,p;
double a[100031],b[100031];
bool check(double x){
double s=0.0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(a[i]*x>b[i]) s+=(a[i]*x-b[i]);
return s<=x*p;
}
int main(){
cin>>n>>p;
double s=0.0;
for(int i=1;i<=n;i++)
cin>>a[i]>>b[i],s+=b[i];
if(s<=p){ cout<<-1.000000; return 0; }
double l=0.0,r=1e10;
while(l+eps<r){
double mid=(l+r)/2.0;
if(check(mid)) l=mid;
else r=mid;
}
cout<<setprecision(6)<<fixed<<l;
return 0;
}
