Living-Dream 系列笔记 第7期

本期主要讲解深度优先搜索 \(\text{DFS}\)。

知识点

种类：

• 全排列。可以想象为填格子。

• 去重全排列，即组合。

时间复杂度均为 \(O(n!)\)。

\(\text{DFS}\) 题的特征：

• 求方案总数 / 最值。

• 数据范围极小（一般 \(n \le 20\)）。

• 无法直接暴力枚举（因为循环嵌套层数不确定）。

例题

T1

将每个人看作一个格子，枚举 \(1 \sim n\) 本书放入这些格子中，并且要满足当前处理的格子喜欢。

因此维护一个变量 \(x\)，记录当前已经处理到了哪个格子。若 \(x+1=n\)，则累加答案并 return 进行回溯，否则枚举每一本书尝试填入格子，若合法则进入下一层递归搜索。

注意需要使用 \(vis\) 数组记录每个数是否被用过，避免重复枚举。

跟普通的全排列搜索是没有什么区别的，只是多了一个限制条件。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,ans;
int a[31],b[31];
bool vis[31];
 
void dfs(int x){
	if(x==n+1){
		ans++; return;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[i]&&(a[x]==i||b[x]==i)){
			vis[i]=1;
			dfs(x+1);
			vis[i]=0;
		}
	}
}
 
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
	dfs(1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

T2

此题属于第二种去重全排列搜索，它与第一种的区别在于，题目要求每组数都有序且不考虑顺序。

既然如此，我们在枚举填哪个数时，就不能用 \(1 \sim n\)，而应该用 \(a_{x-1}+1 \sim n\)，即从上一个格子填的数 \(+ \ 1\) 开始循环。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,r,ans[31];
 
void dfs(int x){
	if(x==r+1){
		for(int i=1;i<=r;i++) cout<<setw(3)<<ans[i];
		cout<<'\n';
		return;
	}
	for(int i=ans[x-1]+1;i<=n;i++) ans[x]=i,dfs(x+1);
}
 
int main(){
	cin>>n>>r;
	dfs(1);
	return 0;
}

T3

同样是第二种。

细节：

• 循环需要从 \(\max{(1,a_{i-1})}\) 开始，到 \(n-1\) 结束，因为不能从 \(0\) 开始且允许重复使用数字且不能到 \(n\) 结束。

• 注意此题的结束条件是所有数之和 \(sum=n\)，但也要处理 \(sum>n\) 的情况。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,ans[31];
 
void dfs(int x,int sum){
	if(sum==n){
		for(int i=1;i<x-1;i++) cout<<ans[i]<<'+';
		cout<<ans[x-1]<<'\n';
		return;
	}
	if(sum>n) return;
	
	for(int i=ans[x-1];i<n;i++){
		ans[x]=i;
		dfs(x+1,sum+i);
	}
}
 
int main(){
	cin>>n; ans[0]=1;
	dfs(1,0);
	return 0;
}

习题

T4

这题的 \(\text{DFS}\) 函数不仅要有 \(x\)、\(sum\)，还要有 \(st\) 这个参数，表示循环的开始处，初始为 \(1\)。

每次搜索中循环 \(st \sim n\)，对于每一个枚举到的 \(i\)，继续进行 \(\text{DFS}\)，并令 \(st \gets i+1\)。

其他的就和 T2 差不多了。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
int n,k,ans;
int a[31];
 
bool check(int x){
    if(x<2) return 0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++) 
        if(x%i==0) return 0;
    return 1;
}
void dfs(int now,int sum,int st){
    if(now==k){
        if(check(sum)) ans++;
        return;
    }
    for(int i=st;i<=n;i++) 
        dfs(now+1,sum+a[i],i+1);
}
 
signed main(){
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    dfs(0,0,1);
    cout<<ans;
    return 0;
}

T5

枚举 \(n\) 的全排列，依次验证，若合法则输出。注意 \(1,n\) 也是相邻的。

用 next_permutation 更简便。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,ans;
int a[31];
 
bool P(int x){
    if(x<2) return 0;
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(!(x%i)) return 0;
    return 1;
}
 
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
 
 
    do{
        bool f=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            if(i<n)
                if(!P(a[i]+a[i+1])) f=0;
            if(i==n)
                if(!P(a[n]+a[1])) f=0; 
        }
        if(f){
            cout<<++ans<<':';
            for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';
            cout<<'\n';
        }
 
    }while(next_permutation(a+1,a+n+1));
    cout<<"total:"<<ans;
    return 0;
}