CF1312C Adding Powers 题解

题意：

对于一个初始全 \(0\) 的序列，问是否能够进行若干次操作（第 \(i\) 次操作为对序列中任意一个元素增加 \(k^i\)），使得此序列变为目标数组 \(a\)。

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首先，我们令需要进行操作的序列为 \(b\)。

我们知道，如果能通过若干次操作将 \(b\) 变为 \(a\)，则有以下三种情形：

• \(a\) 中的元素全 \(0\)（初始时就达成了）；

• \(k=1\)（此时 \(k\) 的任意次方均为 \(1\)）；

• 满足对于所有的 \(1 \le i \le n\)，都有 \(a_i = k^{x_1} + k^{x_2} + ... +k^{x_y}\)，且 \(x_1 \neq x_2 \neq ... \neq x_y\)（即 \(a\) 中的每个元素均可以被表示为 \(k\) 的若干次幂之和，并且这些指数均不相同）。

于是，我们首先特判前两种情形，再朴素地对于 \(a\) 中的某个元素去分解成若干个 \(k\) 的次幂之和，判断指数是否有重复即可。时间复杂度 \(O(n \log A)\)，其中 \(A\) 表示 \(\max\{a_i\}\)。

核心代码（用于将元素分解成若干个 \(k\) 的次幂之和，并判断指数是否重复）：

bool check(int x){
	while(x){
		int base=1,power=0;
		while(base<=x) base*=k,power++;
		base/=k,power--,x-=base,vis[power]++;
		if(vis[power]>1) return 0;
	}
	return 1;
}