Living-Dream 系列笔记 第33期

Living-Dream 系列笔记强势回归（雾）

T1

并查集妙妙题。

很容易想到一种朴素的贪心策略：

对于所以物品按照价格从大到小排序，

然后每一个物品，找到最晚的没有卖物品的那一天卖掉此物品。

这样贪心的时间复杂度为 \(O(\max d_i \times n)\)，可以通过。

考虑如何优化此贪心。

可以发现朴素贪心时间复杂度的瓶颈

在于找到最晚的没有卖物品的那一天，

于是我们采用并查集，

每次卖出物品时将当前这一天与上一天合并，

然后每次在第 \(x\) 天查询 \(fa_x\) 即为所求。

时间复杂度是 \(O(n \log \max d_i)\) 的。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,ans,maxi;
pair<int,int> a[10031];
bool vis[10031];
int fa[10031];
 
bool cmp(pair<int,int> a,pair<int,int> b){
	return a.first>b.first;
}
 
int fnd(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x]);
}
 
int main(){
	while(cin>>n){
		ans=0,maxi=-1e9;
		for(int i=1;i<=n;i++) 
			cin>>a[i].first>>a[i].second,maxi=max(maxi,a[i].second);
		sort(a+1,a+n+1,cmp);
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		for(int i=1;i<=maxi;i++) fa[i]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int pos=fnd(a[i].second);
			if(pos>0)
				ans+=a[i].first,fa[pos]=pos-1;
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
	return 0;
}

似乎还有一种堆做法，有心情再更。

upd：堆做法在本人的算法竞赛进阶指南笔记中有。

T2

最小生成树的板子。

最小生成树的定义：\(n\) 点 \(m\) 边的无向连通图中边权和最小的 \(n\) 点树。

如何求最小生成树：

• \(\texttt{Kruskal}\)

• \(\texttt{Prim}\)（暂未学习）

\(\texttt{Kruskal}\) 算法：

将 \(m\) 边按照边权从小到大排序，

然后对于两个节点，

若它们未联通（用并查集维护），

就对它们进行连边即可。

证明：（询问）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,m;
int fa[200031];
struct E{
	int u,v,w;
}e[200031];
bool cmp(E x,E y){
	return x.w<y.w;
}
 
int fnd(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x]);
}
void mrg(int x,int y){
	x=fnd(x),y=fnd(y);
	fa[x]=y;
} 
 
int kruskal(){
	int ans=0,cnt=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(fnd(e[i].u)!=fnd(e[i].v)){
			mrg(e[i].u,e[i].v);
			ans+=e[i].w;
			cnt++;
			if(cnt==n-1) return ans;
		}
	}
	return -1;
}
 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int Ans=kruskal();
	if(Ans==-1) cout<<"orz";
	else cout<<Ans;
	return 0;
}

T3

大水题。

将答案累加改为答案取 \(\max\) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,m;
int fa[100031];
struct E{
	int u,v,w;
}e[100031];
bool cmp(E x,E y){
	return x.w<y.w;
}
 
int fnd(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x]);
}
void mrg(int x,int y){
	x=fnd(x),y=fnd(y);
	fa[x]=y;
} 
 
int kruskal(){
	int ans=-1e9,cnt=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(fnd(e[i].u)!=fnd(e[i].v)){
			mrg(e[i].u,e[i].v);
			ans=max(ans,e[i].w);
			cnt++;
			if(cnt==n-1) return ans;
		}
	}
	return -1;
}
 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	//if(Ans==-1) cout<<"orz";
	cout<<kruskal();
	return 0;
}

T4

大水题 \(\times \ 2\)。

终止条件改为连通块数量为 \(k\) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,m,k;
int fa[200031];
struct E{
	int u,v,w;
}e[200031];
bool cmp(E x,E y){
	return x.w<y.w;
}
 
int fnd(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x]);
}
void mrg(int x,int y){
	x=fnd(x),y=fnd(y);
	fa[x]=y;
} 
 
bool check(){
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		if(fa[i]==i) cnt++;
	return cnt==k;
}
 
int kruskal(){
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(fnd(e[i].u)!=fnd(e[i].v)){
			mrg(e[i].u,e[i].v);
			ans+=e[i].w;
			if(check()) return ans;
		}
	}
	return -1;
}
 
int main(){
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	sort(e+1,e+m+1,cmp);
	int Ans=kruskal();
	if(Ans==-1) cout<<"No Answer";
	else cout<<Ans;
	return 0;
}

习题 T1

大水题 \(\times \ 3\)。

将边权改为距离，端点改为下标，

终止条件改为 \(cnt=(s-1)-(p-1)=s-p\) 即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int n,m,tot;
map<int,int> fa;
int x[531],y[531];
struct E{
	int u,v;
	double w;
}e[250031];
bool cmp(E x,E y){
	return x.w<y.w;
}
double get_dis(int x,int y,int xx,int yy){
	return sqrt((x-xx)*(x-xx)+(y-yy)*(y-yy));
}
int c(int x){
	int y=0;
	while(x) y++,x/=10;
	return y;
}
 
int fnd(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x]);
}
void mrg(int x,int y){
	x=fnd(x),y=fnd(y);
	fa[x]=y;
}
 
double kruskal(){
	double ans=0;
	int cnt=0;
	for(int i=1;i<=tot;i++){
		if(fnd(e[i].u)!=fnd(e[i].v)){
			mrg(e[i].u,e[i].v);
			ans=e[i].w;
			cnt++;
			if(cnt==n-m) return ans;
		}
	}
}
 
int main(){
	cin>>m>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<i;j++)
			e[++tot].w=get_dis(x[i],y[i],x[j],y[j]),
			e[tot].u=i,
			e[tot].v=j;
	sort(e+1,e+tot+1,cmp);
	double Ans=kruskal();
	cout<<setprecision(2)<<fixed<<Ans;
	return 0;
}