T1
bf 的做法是 \(n\) 次 floyd，实测可以卡过。
然后我们发现当点 \(u\) 为重要点时，当且仅当存在 \((a,b)\) 使得 \(u\) 为它们的唯一中转点。
于是我们令 \(vis_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 的唯一中转点，
接着在 floyd 的松弛操作中若能松弛则更新其为当前中转点 \(k\)，
否则若没有更优（即相等）则说明前面的重要点与 \(k\) 可相互替换，直接清空。
最后开个桶记录答案即可，时间复杂度 \(O(n^3)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,m;
int dp[231][231];
int vis[231][231];
bool l[231];
int tot,ans[231];
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++){
if(i==j||i==k||j==k) continue;
if(dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k][j]) dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k][j],vis[i][j]=k;
else if(dp[i][j]==dp[i][k]+dp[k][j]) vis[i][j]=0;
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n>>m;
memset(dp,0x3f,sizeof(dp));
for(int i=1;i<=n;i++) dp[i][i]=0;
for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++) cin>>u>>v>>w,dp[u][v]=dp[v][u]=w;
floyd();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(vis[i][j]) ans[vis[i][j]]++;
for(int i=1;i<=n;i++) if(ans[i]) tot++;
if(!tot) cout<<"No important cities.";
else for(int i=1;i<=n;i++) if(ans[i]) cout<<i<<' ';
return 0;
}
T2
法一：按曼哈顿距离 \(\div 2\) 建图跑 floyd 取 \(\max\) 即可，转移时也取 \(\max\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n;
double ans=-1e9,dp[131][131];
pair<int,int> p[131];
void floyd(){
for(int k=1;k<=n;k++)
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
dp[i][j]=min(dp[i][j],max(dp[i][k],dp[k][j]));
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
dp[i][j]=dp[j][i]=abs(p[i].x-p[j].x)+abs(p[i].y-p[j].y);
floyd();
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
ans=max(ans,dp[i][j]);
cout<<(int)(ceil(ans/2.0));
return 0;
}
法二：同样方式建图跑 kruskal 即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
int n,tot;
int fa[131];
double ans,dp[131][131];
pair<int,int> p[131];
struct E{ int u,v,w; }e[10031];
bool cmp(E x,E y){ return x.w<y.w; }
int fnd(int x){ return (fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x])); }
void kruskal(){
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(fnd(e[i].u)!=fnd(e[i].v)){
fa[fnd(e[i].u)]=fnd(e[i].v);
ans=max(ans,(double)e[i].w);
}
}
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].x>>p[i].y;
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
e[++tot]={i,j,abs(p[i].x-p[j].x)+abs(p[i].y-p[j].y)};
sort(e+1,e+tot+1,cmp);
kruskal();
cout<<(int)(ceil(ans/2.0));
return 0;
}
法三：二分时间用并查集 check 即可。
#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,tot;
int fa[131];
double ans;
pair<int,int> p[131];
int fnd(int x){ return (fa[x]==x?x:fa[x]=fnd(fa[x])); }
bool check(int x){
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=i+1;j<=n;j++)
if(abs(p[i].first-p[j].first)+abs(p[i].second-p[j].second)<=x*2.0)
fa[fnd(i)]=fnd(j);
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) if(fa[i]==i) cnt++;
return cnt==1;
}
signed main(){
ios::sync_with_stdio(0);
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i].first>>p[i].second;
int l=0,r=1e9+1;
while(l+1<r){
for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
int mid=(l+r)>>1;
if(check(mid)) r=mid;
else l=mid;
}
cout<<r;
return 0;
}
