算法竞赛进阶指南-选做

继 算法竞赛进阶指南-学习笔记 之后的新内容。

将会比前面的简略许多，因为仅供个人使用。

0x41 并查集

P1955：

相等关系合并端点，不等关系若端点在同一集合则矛盾。注意离散化。实现。

UVA1316：

solution。

P1196：

solution。

P5937：

首先容易发现，若令 \(s_i\) 为 \(01\) 序列前缀和，则 \(s_r\) 与 \(s_{l-1}\) 奇偶性相同则有偶数个 \(1\)，不同则有奇数个 \(1\)。

边带权做法：

令边权为 \(d_x\)，若为 \(0\) 则 \(x\) 与 \(fa_x\) 奇偶性不同，反之则相同。

我们对于每个 \(x\)，把从 \(x\) 到 \(fa_x\) 的 \(d\) 求 \(\operatorname{xor}\) 和即为 \(x\) 与 \(fa_x\) 的奇偶性关系。

对于询问 \((x,y)\)，若它们在同一集合，则若 \(d_x \operatorname{xor} d_y=ans\)（\(ans\) 为答案）则不矛盾，否则矛盾；

若它们不在同一集合，则 \(x\) 与 \(y\) 的奇偶性关系 \(ans\) 即为 \(d_x \operatorname{xor} d_p \operatorname{xor} d_y\)，进而可得两集合新边权 \(d_p=d_x \operatorname{xor} d_y \operatorname{xor} ans\)。

边带权做法的 实现。

扩展域做法：

将每个点 \(x\) 拆成 \(x_{odd}\) 与 \(x_{even}\)，

若 \(ans=0\)，则若 \(x_{odd}\) 与 \(x_{even}\) 在一个集合中则矛盾，否则合并 \(x_{odd},y_{odd}\)、\(x_{even},y_{even}\)。

否则反之同理可得。

扩展域做法的 实现。

还是注意离散化。

0x42 树状数组

Acwing241：

对于每个 \(y_i\)，它对于 ^ 的贡献即为 左边比 \(y_i\) 小的 \(y_j\) 个数 \(\times\) 右边比 \(y_i\) 小的 \(y_k\) 的个数。

同理亦可算出其对于 v 的贡献，分别用树状数组维护即可。

实现。

Acwing242：

差分即可。实现。

P3372：

仍然考虑差分。令差分数组为 \(b\)。

此时若对 \(a_{1 \sim x}\) 进行区间增加 \(v\)，则其总增量即为

\[\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^i b_j \]

考虑拆这个式子：

\[\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^i b_j \]

\[= \sum_{i=1}^x (x-i+1) \times b_i \]

\[= (x+1) \sum_{i=1}^x b_i - \sum_{i=1}^x i \times b_i \]

于是我们维护两个数组 \(c_0,c_1\)，分别保存 \(\sum_{i=1}^x b_i\) 与 \(\sum_{i=1}^x i \times b_i\)。

然后按照上式进行区间修改与查询即可。

实现。

Acwing244：

倒序确定每头牛，容易发现每头牛的身高 \(H_k= 1 \sim n\) 中第 \(A_k+1\) 小的不存在于 \(H_{k+1 \sim n}\) 的数。

于是我们用树状数组维护 \(01\) 序列 \(b\) 的前缀和，\(b\) 起初全为 \(1\)。

二分这个位置，通过 ask(mid) 即可查询前面有多少个 \(1\)，若比 \(A_k\) 小则往大猜，否则往小猜。

二分做法的 实现。

当然用倍增也可以做，就是枚举 \(p\)，以 \(2^p\) 为步长去凑即可。这个实现先咕着。

0x43 线段树

SP1716（Acwing245）：

很基础的线段树，但是实现细节挺多。

令 \(sum\) 维护区间和，\(lmax\) 维护靠左端的最大子段和，\(rmax\) 维护靠右端的区间子段和，\(dat\) 维护区间子段和。

于是 pushup 时有：

（以下令 \(p\) 为父节点，\(ls,rs\) 为左、右子节点）

\[\large{t_{p_{sum}}=t_{ls_{sum}}+t_{rs_{sum}}} \]

\[\large{t_{p_{lmax}}=\max(t_{ls_{lmax}},t_{ls_{sum}}+t_{rs_{lmax}})} \]

\[\large{t_{p_{rmax}}=\max(t_{rs_{rmax}},t_{rs_{sum}}+t_{ls_{rmax}})} \]

\[\large{t_{p_{dat}}=\max(t_{ls_{dat}},t_{rs_{dat}},t_{ls_{rmax}}+t_{rs_{lmax}})} \]

在 build 和 update 中如此传递信息即可。

在 ask 中，我们也是如此累计答案，但在 \(l > mid\) 与 \(r \le mid\) 的情况时（\([l,r]\) 为询问区间，\(mid\) 为当前区间中点），答案的 \(lmax\) 与 \(rmax\) 需要分别对于 \(\large{t_{rs_{lmax}}}\) 与 \(\large{t_{ls_{rmax}}}\) 取 \(\max\)。

实现。

Acwing246：

直接用线段树维护带修的区间 \(\gcd\) 是过不了的，

所以我们建立原数组 \(A\) 的差分数组 \(B\)，

这样就把区间修改转为两次单点修改。

因为我们有：

\[\gcd(a_1,a_2,...,a_n)=\gcd(a_1,a_2-a_1,...,a_n-a_{n-1}) \]

（这玩意似乎可以用 \(\gcd(x,y)=\gcd(x,y-x)\)（更相减损术）运用数学归纳法证明，但是我先咕着）

所以可以运用线段树维护 \(B\) 的区间 \(\gcd\)，

然后询问就等于求出 \(\gcd(a_l,\operatorname{ask}(1,l+1,r))\)，

其中因为要求 \(a_l\)，所以还得套个树状数组。

然后这题就做完了。实现。

P3372：

板子。实现。