Living-Dream 系列笔记 第43期

bellman-ford：

因为最短路最多 \(n\) 点 \(n-1\) 边，则进行 \(n-1\) 轮操作，每轮枚举 \(m\) 边进行松弛即可。

时间复杂度 \(O(nm)\)。

spfa：

正确的称呼是队列优化的 bellman-ford。

我们知道，对于一个点，只有它被松弛了，它的邻接点才有可能被松弛。

于是我们用队列记录可能被松弛的点，每次只对这些点松弛即可。

同时我们用 vis 数组标记已进队的点，放置一个点进队多次。

T1

板子。

//bellman-ford
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=1e4+5,M=5e5+5,MOD=1e5+3;
int n,m,s;
int dis[N];
bool vis[N];
struct edge{ int u,v,w; }e[M];
 
void bellman_ford(int s){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2147483647;
	dis[s]=0;
	for(int i=1;i<n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			if(dis[e[j].v]-e[j].w>dis[e[j].u])
				dis[e[j].v]=dis[e[j].u]+e[j].w;
}
 
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	bellman_ford(s);
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<' ';
	return 0;	
} 
 
//spfa
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=1e4+5,M=5e5+5,MOD=1e5+3;
int n,m,s;
int dis[N];
bool vis[N];
struct edge{ int v,w; };
vector<edge> G[M];
 
void spfa(int s){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2147483647;
	dis[s]=0;
	queue<int> q;
	q.push(s),vis[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int now=q.front(); q.pop();
		vis[now]=0;
		for(auto i:G[now]){
			if(dis[i.v]>dis[now]+i.w){
				dis[i.v]=dis[now]+i.w;
				if(!vis[i.v]) vis[i.v]=1,q.push(i.v);
			}
		}
	}
}
 
int main(){
	cin>>n>>m>>s;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
		cin>>u>>v>>w,G[u].push_back({v,w});
	spfa(s);
	for(int i=1;i<=n;i++) cout<<dis[i]<<' ';
	return 0;	
} 

T2

加个等待过程即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
const int N=1e5+5,M=1e5+5;
int n,m;
int dis[N];
map<pair<int,int>,bool> o;
bool vis[N];
struct edge{ int v,w; };
vector<edge> G[M];
 
void spfa(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	queue<int> q; 
	q.push(1),vis[1]=1,dis[1]=0;
	while(!q.empty()){
		int now=q.front(); q.pop();
		vis[now]=0;
		int nd=dis[now];
		while(o[{now,nd}]) nd++;
		for(auto i:G[now]){
			if(dis[i.v]>nd+i.w){
				dis[i.v]=nd+i.w;
				if(!vis[i.v]) vis[i.v]=1,q.push(i.v);
			}
		}
	}
}
 
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
		cin>>u>>v>>w,G[u].push_back({v,w}),G[v].push_back({u,w});
	for(int i=1,k;i<=n;i++){
		cin>>k;
		for(int j=1,t;j<=k;j++) cin>>t,o[{i,t}]=1;
	}
	spfa();
	cout<<(dis[n]==0x3f3f3f3f3f3f3f3f?-1:dis[n]);
	return 0;	
} 

T3

dijkstra 记录路径并递归输出即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
 
const int N=1e5+5,M=1e5+5;
int n,m;
int dis[N],path[N];
bool vis[N];
struct edge{ int v,w; };
vector<edge> G[M];
struct node{
	int u,w;
	bool operator < (const node &b) const{
		return w>b.w;
	}
};
 
void dijkspfa(){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=1e18;
	priority_queue<node> q; 
	q.push({1,0}),dis[1]=0;
	while(!q.empty()){
		node now=q.top(); q.pop();
		if(vis[now.u]) continue; vis[now.u]=1;
		for(auto i:G[now.u]){
			if(dis[i.v]>dis[now.u]+i.w){
				path[i.v]=now.u;
				dis[i.v]=dis[now.u]+i.w;
				q.push({i.v,dis[i.v]});
			}
		}
	}
}
void print(int x){
	if(x==1){ cout<<x<<' '; return; }
	print(path[x]);
	cout<<x<<' ';
}
 
signed main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1,u,v,w;i<=m;i++)
		cin>>u>>v>>w,G[u].push_back({v,w}),G[v].push_back({u,w});
	dijkspfa();
	if(dis[n]==1e18) cout<<-1;
	else print(n);
	return 0;	
} 

作业 T1

跑自己到自己的最长路即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=1e4+5,M=5e5+5,MOD=1e5+3;
int n,m,t;
double dis[N];
bool vis[N];
map<string,int> id;
struct edge{ int v; double w; };
vector<edge> G[M];
 
void spfa(int s){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=-1e9;
	dis[s]=1.0;
	queue<int> q;
	q.push(s),vis[s]=1;
	while(!q.empty()){
		int now=q.front(); q.pop();
		vis[now]=0;
		for(auto i:G[now]){
			if(dis[i.v]<dis[now]*i.w){
				dis[i.v]=dis[now]*i.w;
				if(!vis[i.v]) vis[i.v]=1,q.push(i.v);
			}
		}
	}
}
 
int main(){
	while(cin>>n&&n){
		for(int i=1;i<=n;i++) G[i].clear();
		bool f=0;
		++t;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			string s; cin>>s,id[s]=i;
		}
		cin>>m;
		for(int i=1;i<=m;i++){
			string u,v; double w;
			cin>>u>>w>>v,G[id[u]].push_back({id[v],w});
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			spfa(i);
			if(dis[i]>1.0){
				printf("Case %d: Yes\n",t),f=1;
				break;
			}
		}
		if(!f) printf("Case %d: No\n",t);
	}
	return 0;	
}