图的存储方式：邻接矩阵和邻接表【基础】
注：本文已迁移至CSDN，后续的更新也会在CSDN。
http://blog.csdn.net/houchaoqun_xmu/article/details/53813630
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【原】本文主要简单介绍了“数据结构”中，图的存储方式，包括邻接矩阵的存储方式和邻接表的存储方式，并使用C++进一步实现。
-- 说明：本博文属于基础篇，适合于初学或者尚未学且对数据结构感兴趣的同学，核心内容如下：
1. 图的存储结构理论简介，以及创建图的算法；
2. 无向邻接矩阵的应用，主要介绍了通过文件流读取城市路径（旅行商问题）的相关数据，将值赋给图的数据结构相关的成员；
3. 关于旅行商问题的数据说明与处理；
-- 此外，在本文的基础上，后续还会有6篇左右的文章基于图的存储结构，解决TSP旅行商问题，分别包括如下标题：
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（1）TSP_旅行商问题- 蛮力法( 深度遍历优先算法DFS )
（2）TSP_旅行商问题- 动态规划
（3）TSP_旅行商问题- 模拟退火算法
（4）TSP_旅行商问题- 遗传算法
（5）TSP_旅行商问题- 粒子群算法
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一、图的存储结构
1. 邻接矩阵表示法 - 以无向图为例：
1）邻接矩阵简介
-- 逻辑结构分为两部分：Vexs[]（存储顶点）和Arcs[][]（邻接矩阵）集合。因此，用一个一维数组存放图中所有顶点数据；用一个二维数组存放顶点间关系（边或弧）的数据，这个二维数组称为邻接矩阵。
-- 邻接矩阵又分为有向图邻接矩阵和无向图邻接矩阵，此处以无向图为例。
2）无向图邻接矩阵的特点：
-- 对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且主对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），副对角线不一定为0，有向图则不一定如此；
-- 无向图邻接矩阵是一个对称矩阵；
-- 顶点Vi的度等于第i行非零元个数，或第i列非零元个数；（有向图没有此特点）
-- 矩阵非零元总数等于边数的2倍；
-- 用邻接矩阵表示图，很容易确定图中任意两个顶点是否有边相连；
3）完整的数据结构表示如下：
/* 1. 图 - 邻接矩阵表示法 */ /* ---------------------------------------------------------------- */ /* 较完善的数据结构 */ #define VRType int #define InfoType int #define VertexType char #define max_n 20 typedef enum{DG, DN, AG, AN} GraphKind; // 弧结点与矩阵的类型 typedef struct { VRType adj; //VRType为弧的类型。图--0,1;网--权值 InfoType *Info; //与弧相关的信息的指针,可省略 }ArcCell, AdjMatrix[max_n][max_n]; // 图的类型 typedef struct{ VertexType vexs[max_n]; // 顶点向量 AdjMatrix arcs; // 邻接矩阵 int vexnum, arcnum; // 顶点数，边数 GraphKind kind; // 图类型 }MGraph; /* ---------------------------------------------------------------- */
4）【具体问题具体分析】根据”TSP“旅行商问题的需求，将该无向图的邻接矩阵简化如下：
/* 简化的数据结构 */ #define max_vexNum 26 // 最大城市个数 #define MAX_PATH_LENGTH 9999999 typedef struct{ int vex_num, arc_num; // 顶点数 边数 char vexs[max_vexNum]; // 顶点向量 double arcs[max_vexNum][max_vexNum]; // 邻接矩阵 }Graph;
5）基于邻接矩阵创建图 - CreateGraph()
1. 输入图的类型Kind，0--有向图，2--无向图; 2. 输入顶点数G.vexnum和边数G.arcnum; 3. 输入n个顶点，填入顶点数组G.vexs； 4. 输入边的偶对(vi,vj)或<vi,vj>, 填写邻接矩阵G.arcs
6）无向图的邻接矩阵图例
2. 邻接表表示法 - 将每个顶点的邻接点串成一个单链表
1）邻接表的数据结构
#define max_n 20 //最大顶点数 typedef struct ArcNode{ //边结点 int adjvex; //邻接点的下标 struct ArcNode *nextarc; //后继链指针 }ArcNode;
typedef struct VNode{ //顶点结点 VertexType data; //顶点数据 ArcNode *firstarc; //边链头指针 }VNode, AdjList[max_n];
typedef struct{ AdjList vertices; //邻接表 int vexnum,arcnum; //顶点数和边数 GraphType kind； //图种类标志 }ALGraph;
2）无向图的邻接表 - 实例：
3）基于邻接表创建图 - CreateGraph()
1. 输入图的类型Kind，0--有向图，2--无向图; 2. 输入顶点数G.vexnum和边数G.arcnum; 3. 输入n个顶点，填入顶点数组G.vextices； 4. 输入边的偶对(vi,vj)或<vi,vj>, 用头插法生成边链
二、C++实现图的邻接矩阵表示法
1. 数据结构
/* 简化的数据结构 */ #define max_vexNum 26 // 最大城市个数 #define MAX_PATH_LENGTH 9999999 typedef struct{ int vex_num, arc_num; // 顶点数 边数 char vexs[max_vexNum]; // 顶点向量 double arcs[max_vexNum][max_vexNum]; // 邻接矩阵 }Graph;
2. 文件读取的方式，本程序采用文件流的方式进行数据的读写，相关代码如下：
#include <fstream> ifstream read_in; read_in.open("L:\\Coding\\图的常见操作\\图的常见操作\\city_10.txt"); if (!read_in.is_open()) { cout<<"文件读取失败."<<endl; return; }
3. TSP（旅行商问题）的实验数据：文件名（ city_10.txt ）
10 A B C D E F G H I J 0 2538.94 2873.8 2575.27 2318.1 2158.71 2216.58 3174.04 3371.13 3540.24 2538.94 0 1073.54 111.288 266.835 395.032 410.118 637.942 853.554 1055 2873.8 1073.54 0 964.495 988.636 1094.32 1382.73 1240.15 1460.25 1687 2575.27 111.288 964.495 0 262.053 416.707 503.563 624.725 854.916 1068.42 2318.1 266.835 988.636 262.053 0 163.355 395.14 885 1110.86 1318.19 2158.71 395.032 1094.32 416.707 163.355 0 338.634 1030.34 1248.58 1447.69 2216.58 410.118 1382.73 503.563 395.14 338.634 0 984.068 1160.26 1323.7 3174.04 637.942 1240.15 624.725 885 1030.34 984.068 0 243.417 473.768 3371.13 853.554 1460.25 854.916 1110.86 1248.58 1160.26 243.417 0 232.112 3540.24 1055 1687 1068.42 1318.19 1447.69 1323.7 473.768 232.112 0
4. 创建TSP城市的邻接矩阵
void CreateGraph(Graph &G){ ifstream read_in; read_in.open("L:\\Coding\\图的常见操作\\图的常见操作\\city_10.txt"); if (!read_in.is_open()) { cout<<"文件读取失败."<<endl; return; } read_in >> G.vex_num; // read_in >> G.arc_num; G.arc_num = 0; for (int i = 0;i < G.vex_num; i++) { read_in >> G.vexs[i]; } G.vexs[G.vex_num] = '\0'; // char的结束符. for (int i = 0; i < G.vex_num;i++) { for (int j = 0; j < G.vex_num; j++) { read_in >> G.arcs[i][j]; // calculate the arc_num if (G.arcs[i][j] > 0) { G.arc_num++; } } } // display cout<<"无向图创建完毕，相关信息如下："<<endl; cout<<"【顶点数】 G.vex_num = "<<G.vex_num<<endl; cout<<"【边数】 G.arc_num = "<<G.arc_num<<endl; cout<<"【顶点向量】 vexs[max_vexNum] = "; for (int i = 0; i < G.vex_num; i++) { cout<<G.vexs[i]<<" "; } cout<<endl<<"【邻接矩阵】 arcs[max_vexNum][max_vexNum] 如下："<<endl; for (int i = 0; i < G.vex_num;i++) { for (int j = 0; j < G.vex_num; j++) { cout << std::right<<setw(10) << G.arcs[i][j]<<" "; } cout<<endl; } }
5. 实验结果
6. 旅行商问题数据的说明与处理
1）旅行商问题的数据说明：
-- 目前网上有很多我国城市相关的数据，以坐标点的方式表示，而本程序以及后续的程序都是以邻接矩阵的方式体现，所以现在需要将数据进行转换。
-- 【城市数据】 参考网址：http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/tsp/
-- 【TSP最优解】参考网址：http://comopt.ifi.uni-heidelberg.de/software/TSPLIB95/STSP.html
2）转换程序如下：
// 城市数据格式转化 #define MAX_CITYNUM 150 void CityDataTranslate(){ ifstream read_in; read_in.open("L:\\Coding\\TSP_SA模拟退火算法\\TSP_SA模拟退火算法\\ch150.txt"); // 待转换数据，数据可从上述链接【城市数据】下载 if (!read_in.is_open()) { cout<<"文件读取失败."<<endl; return; } ofstream fout("L:\\Coding\\TSP_SA模拟退火算法\\TSP_SA模拟退火算法\\city_150.txt"); // 转换后的数据存入文档 city_150.txt double city_table[MAX_CITYNUM][MAX_CITYNUM]; int city_No[MAX_CITYNUM]; double city_x[MAX_CITYNUM]; double city_y[MAX_CITYNUM]; int vex_num; read_in >> vex_num; fout << vex_num << endl; for (int i = 0; i < vex_num; i++) { read_in >> city_No[i] >> city_x[i] >> city_y[i]; fout << i + 1 <<" "; } fout<<endl; for (int i = 0; i < vex_num; i++) { city_table[i][i] = 0; for (int j = 0; j < vex_num; j++) { double temp = (city_x[i] - city_x[j])*(city_x[i] - city_x[j]) + (city_y[i] - city_y[j])*(city_y[i] - city_y[j]); city_table[i][j] = sqrt(temp); fout << city_table[i][j]<<" "; } fout<<endl; } }
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【注】博文由本文经过实践进一步整理，如有问题，还望指出，本人会及时纠正！谢谢^^
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