高精度算法

　　****使用高精度算法的理由****

　在C/C++中常用的数据类型有int和long long.int占用一个机器字长,在32位系统中int占4个字节,范围为[-2^-31,2³¹-1];long long占用8个字节,范围为[-2⁶³,2⁶³-1].一旦超过这两种数据类型的范围则不能够满足特定数据要求.比如数据2¹⁰⁰数量级不能够满足要求,这一类型因此被称为高精度或大数类型.高精度有加减乘除类型.

　　****高精度加法****

　　题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P1601

　　求解A+B：（1）输入两个正数a,b,输出和（a,b≤10⁹）;（2）输入两个正数a,b,输出和（a,b≤10⁵⁰⁰）

　　如下图（左）所示,算法核心为红色笔记部分,既要实现a[i]与b[i]的相加,又要实现进位和本位的输出考虑.在程序考虑时,如果输入数为1234和827这组数据,如下图（右）将1234的1认为数组的第0位,827的8认为数组的第0位,则会导致相加错误,正确的操作应如图中紫色部分所示,对数据进行转置，将1234中的第0位认为是4,827中的第0位认为是7.

　　具体代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 //采用数组模拟高精度类型 
 4 char s1[505],s2[505];
 5 int a[505],b[505],c[505];
 6 
 7 int main(void)
 8 {
 9     int la,lb,lc;
10     memset(c,0,sizeof(c));
11     scanf("%s",s1); //输入字符s1 
12     scanf("%s",s2); //输入字符s2 
13     
14     la = strlen(s1);
15     lb = strlen(s2);
16     
17     //将字符转换为数字并且转置 
18     for(int i = 0; i < la; i++)
19         a[la-i] = s1[i] - '0';
20     for(int i = 0; i < lb; i++)
21         b[lb-i] = s2[i] - '0';
22     
23     lc = max(la,lb) + 1;
24     for(int i = 1; i <= lc; i++)
25     {
26         c[i] += a[i] + b[i];
27         c[i+1] = c[i] / 10;
28         c[i] = c[i] % 10;
29     } 
30     
31     if(c[lc] == 0 && lc > 0) 
32     //删除前导0,lc>0是防止0+0=0的情况 
33         lc--;
34     for(int i = lc; i > 0; i--)
35         printf("%d",c[i]);
36         
37     return 0;
38 }
39

　　****高精度减法****

　　题目：https://www.luogu.com.cn/problem/P2142

　　求解A-B，需要注意：（1）如果a<b，则需要交换a与b;（2）如果a[i]<b[i]，需要高位借1当10使用.

　　具体代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 char s1[10090],s2[10090],s3[10090];
 5 int a[10090],b[10090],c[10090];
 6 int flag = 0;
 7 bool compare(char s1[],char s2[])
 8 {
 9     //如果s1>=s2返回T,否则返回F.
10     int u = strlen(s1),v = strlen(s2);
11     if (u != v) return u > v;
12     //u>v返回T,u<v返回F 
13     //u=v时进行比较 
14     for(int i = 0; i < u; i++)
15         if(s1[i] != s2[i]) 
16             return s1[i] > s2[i]; 
17     return true;
18 }
19 
20 int main(void)
21 {
22     int la,lb,lc;
23     scanf("%s",s1);
24     scanf("%s",s2);
25     
26     if(!compare(s1,s2))
27     {
28     //如果s1<s2则交换,利用复制方式 
29         flag = 1;
30         strcpy(s3,s1);
31         strcpy(s1,s2);
32         strcpy(s2,s3);
33     }
34     
35     la = strlen(s1);
36     lb = strlen(s2);
37     lc = max(la,lb);
38     
39     //字符转数字并转置 
40     for(int i = 0; i < la; i++)
41         a[la-i] = s1[i] - '0';
42     for(int i = 0; i < lb; i++)
43         b[lb-i] = s2[i] - '0';
44     
45     for(int i = 1; i<= lc; i++)
46     {
47     //如果a[i]<b[i]则借位 
48         if(a[i] < b[i])
49         {
50             a[i+1]--;
51             a[i] += 10;    
52         }    
53         c[i] = a[i] - b[i];
54     }
55     
56     while(c[lc] == 0 && lc > 1) lc--;
57     if(flag == 1) printf("-");
58     //如果是负数先输出负号
59     for(int i = lc; i > 0; i--)
60         printf("%d",c[i]);
61     return 0; 
62 }

　　****高精度乘法****

　　题目：求两个不超过200位的非负整数的积.

　　求解a*b,如下图所示为a4a3a2a1 * b2b1的计算过程,可见c1=a1*b1,c2=a2*b1+a1*b2,c3=a3*b1+a2*b2,c4=a4*b1+a3*b2，_{c5=a4*b2,经过分析可以得到图中紫色部分结论，ai*bj对应位为c_{i+j-1}.乘法运算同样需要满足加法高精度中的规则.}

　　具体代码如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 char s1[2005],s2[2005];
 5 int a[2005],b[205],c[2005];
 6 
 7 int main(void)
 8 {
 9     int la,lb,lc;
10     scanf("%s",s1);
11     scanf("%s",s2);
12     
13     la = strlen(s1);
14     lb = strlen(s2);
15     lc = la + lb;
16     
17     for(int i = 0; i < la; i++)
18         a[la-i] = s1[i] - '0';
19     for(int i = 0; i < lb; i++)
20         b[lb-i] = s2[i] - '0';
21     
22     for(int i = 1; i <= la; i++)
23     {
24         for(int j = 1; j <= lb; j++)
25         {
26             c[i+j-1] += a[i]*b[j];
27             c[i+j] = c[i+j-1] / 10;
28             c[i+j-1] %= 10;
29         }
30     }
31     
32     if(c[lc] == 0 && lc > 0) lc --;
33     for(int i = lc; i > 0; i--)
34         printf("%d",c[i]);
35         
36     return 0;
37 }

　　****高精度除法****

　　题目1：https://www.luogu.com.cn/problem/P1480

　　题目2：http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1308

　　A/B需要考虑高精度/高精度和高精度/低精度两种情况,高精度除以低精度采用逐位试商法;高精度除以高精度采用减法模拟除法.

　　如下图所示，针对题目1的a÷b，a为大数（高精度，数组模拟），b为小数（long long类型）

　　题目1中的代码具体如下：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 
 4 char s1[5005];
 5 long long b,c[5005],a[5005],la,lc;
 6 
 7 int main(void)
 8 {
 9     long long x = 0; 
10     scanf("%s",s1);//被除数 
11     scanf("%d",&b);//除数
12     
13     la = strlen(s1);
14     //区别于其他加减乘操作
15     //将如输入的1234字符依次按顺序
16     //放入a数组中 
17     for(int i = 1; i<=la; i++)
18         a[i] = s1[i-1] -'0';
19         
20     for(int i = 1; i <= la; ++i)
21     //商最多有la位 
22     {
23         c[i] = (x * 10 + a[i]) / b;
24         x = (x * 10 + a[i]) % b;
25     } 
26     
27     //删除前导零 
28     lc = 1;
29     while(c[lc] == 0 && lc < la) 
30         lc++;
31     
32     for(int i = lc; i <= la; ++i)
33         printf("%d",c[i]);
34     
35     return 0;
36 }

　　下面对高精度除以高精度的情况进行分析，举个案例解释，如531518/123的案例，531518为高精度被除数，123设为很大的高精度除数，这时可以采用下图的①-④步骤进行处理，即将531518和填补至相同位数的123000进行减法处理，经过四次减法后得到的数的位数要比原来531518的位数即6位小，因此4作为商的最高位。次高位等位的处理如后续②③④同理可得。

　　531518÷123=4321.....35

　　其中c的位数为la-lb+1，上述案例中c的位数至多有4位设为c1c2c3c4（c4为高位）.

　　上述过程可以用下列伪代码进行表示：

//高位c[4]的来源
a = 531518;
tmp = 123000;（将123左移3位）
while a >= tmp:
    c[4]++;
    a = a - tmp;（需要用到高精度减法）
 
//c[3]的来源
a=39518;
tmp=12300;（将123左移两位）
while a >= tmp:
    c[3]++;
    a = a - tmp;（需要用到高精度减法）

//c[2]的来源
a=2618;
tmp=1230;（将123左移1位）
while a >= tmp:
    c[2]++;
    a = a - tmp;（需要用到高精度减法）

//c[1]的来源
a=158;
tmp=123;（将123左移0位）
while a >= tmp:
    c[1]++;
    a = a - tmp;（需要用到高精度减法）

//上述结构可以用以下循环表示：
a = 531518;
for(i=lc;i>=1;i--)
{
    tmp=0；
    tmp=123 左移 i-1位；
    while a >= tmp:
    c[i]++;
    a = a - tmp;（需要用到高精度减法）
}

　　最终代码如下：

 1 //高精度除以高精度求它们的商和余数
 2 //输入两个低于300位的正整数
 3  
 4 #include <bits/stdc++.h>
 5 using namespace std;
 6 
 7 char s1[305],s2[305];
 8 int a[305],b[305],c[305],tmp[305];
 9 
10 void init(int *x)
11 {
12     char s[305];
13     scanf("%s",s);
14     x[0] = strlen(s);
15     for(int i = 0; i < x[0]; i++)
16         x[x[0]-i] = s[i] - '0';
17     //字符转为数字并且倒序存储 
18 }
19 
20 //输出 数组第0位存储长度 
21 void print(int a[])
22 {
23     if(a[0] == 0)
24     {
25         printf("0");
26         return;
27     }
28     for(int i = a[0]; i > 0; i--)
29         printf("%d",a[i]);
30     return;
31 } 
32 
33 //比较大小 
34 int compare(int a[],int b[])
35 {
36     if(a[0] > b[0])
37         return 1;
38     if(a[0] < b[0])
39         return -1;
40     for(int i = a[0]; i > 0; i--)
41     {
42         if(a[i] > b[i])    
43             return 1;
44         if(a[i] < b[i])
45             return -1;
46     } 
47     return 0;
48 }
49 
50 //减法处理
51 void minu(int a[],int b[])
52 {
53     for(int i = 1; i <= a[0]; i++)
54     {
55         if(a[i] < b[i])
56         {
57             a[i+1]--;
58             a[i] = a[i] + 10;
59         }
60         a[i] = a[i] - b[i];
61     }    
62     while(a[a[0]] == 0 && a[0] > 0)
63         a[0]--;
64 } 
65 
66 //将p数组移动n位至q数组 
67 void numcpy(int p[],int q[],int n)
68 {
69     for(int i = 1; i <= p[0];i++)
70         q[i+n-1] = p[i];
71     q[0] = p[0] + n - 1;
72 }
73 
74 
75 int main(void)
76 {
77     init(a);
78     init(b);
79     c[0] = a[0] - b[0] + 1;
80     
81     //代码的核心 
82     for(int i = c[0]; i >= 1; i--)
83     {
84         memset(tmp,0,sizeof(tmp));
85         numcpy(b,tmp,i);
86         while(compare(a,tmp) >= 0) 
87         {
88             c[i]++;
89             minu(a,tmp);
90         }
91     } 
92     
93     while(c[c[0]] ==0 && c[0] > 0)
94         c[0]--;
95     print(c);//商 
96     printf("\n");
97     print(a);//最后的a为余数 
98     return 0;
99 }