homework-02 最大子区域和

题目描述

　　题目建立上一个作业的题目基础上，上一次作业是要求在一个一维序列里找一个最大连续子串，这次task最基础的要求是在一个二维表里找一个最大连续子矩形，但是这次作业有若干个升级版，分别要求可以加入运行参数[\h][\v][\a]，其中\h选项代表给定的二维表是水平循环的，\v代表给定的二维表是水平循环的，\a表示结果可以突破矩形的限制，寻找一个最大的连通块，而非矩形。

我的思路

　　这次题目最难的一部分是实现/a的操作，相比之下其他要求实现比较简单，先从简单的说起。

　　从二维表里找一个最大的子矩形，这和一维的情况非常类似，这促使我们思考如何将这种情况转化到一维的情况，我们观察二维表中的任意一个子矩形。

　　我们可以发现子矩形只是选中了一些连续的子列，每个子列的始终位置都是相同的，而且每个子列的值都不会影响其他子列的值，这样我们把子列的值得的和作为一个元素，就得到了一个一维序列。

　　这时就可以使用在作业毅力的算法来处理这种状态，考虑到要遍历到所有情况，我们仅需要枚举行上每个行之间的区间，时间复杂度为O(n^2)，然后再用homework-01里方法处理两行之间的数据即可，时间复杂度为O(m),总时间复杂度为O(n^2m),这样这道题目就比较好的解决了。不过我们并不能确定这个问题时间复杂度下界就是O(n^2m)，找出一个O(nm)的算法还是非常有吸引力的，毕竟这和一维的情况存在更多的一致性。

　　有了上面的基础我们再考虑/v和/h的情况，这两种情况实际上是等价的，因此我们仅考虑/h的情况，/h选项表示二维表在水平方向上时循环连通的，我采用了在水平方向上扩展一次二维表的方法，扩展如下图

　　扩展之后我们在n*m的矩阵的基础上得到了一个n*2m的矩阵上进行同样的算法，这时还需要加一个限制，考察一行发现如果覆盖整个一行的列长超过m的话会在当前解中加入重复的元素，我们此时枚举列的起始位置，同时保证列长为m即可，这样的时间复杂度为O(n^2m^2)，还是一个非常理想的时间复杂度。

　　最后我们来讨论一下/a选项，它要求找一个任意的最大联通块即可，这个问题难度很高（因为我想了好几天都没想到一个好的解法），题目要求的矩阵最大规模为32*32，初看这个规模显得非常小，但是对于这道题目我们难以找到一个多项式的解，今天在课上也确认了这确实是一个NP问题，解决这个问题有很多思路，这里我们简单讨论几种思路，从经验上我们可以发现如果一个非负的格子在最终解里，那么它相邻的非负格子也一定在最终解里，这样考虑的话就把我们生成矩阵中的所有非负连通块，最终解一定是某些块的集合加入它们之间相连的负的格子，我们枚举这样的集合，然后判断集合里的块是否能相连，具体方法为从一个块中向外遍历负格子，如果遍历的路径和的绝对值已经比该块大了，就停止遍历，可以使用记忆化来优化一下，如果能遍历的目标块就找一条最小的（同时要看这条路的绝对值和是否也比目标块小），这时把这两块连成一块，继续连接其他块，考虑每一种情况后取一个最优值，视为找到的一个解，这个方案的优点是能较快的找到一个好的近似解，缺点是代码复杂，难以实现，而且它目前仅能求一个近似解，并不能证明它是最优的，不满足题目要求。再考虑另一种方法，状态压缩动态规划，状压DP将每一行压为一个状态，这个状态用一个r进制数表示，由于本题要求找到的块具有连通性，那么我们需要一个m进制的数来维护连通性，但本题目有一定特殊性，如果把它视作插头Dp的话这是一个4插头DP也就是说如果相邻两个格子都被选中的话那么他们一定联通的(感谢Tony Shaw的指导），这样考虑的话仅需m/2进制就可以满足需求，我们仅需维护我们当前状态里没有不与当前行连通的块，并且用每一个只有一个块的状态去更新最终解，这样就能很好地解决问题。这个方案的优点是思路清晰，代码相对好写（实际上实现也相当困难），确定是时间复杂度高，我们假定矩阵的规模满足m < n，那么我们的复杂度为O(n(m/2)^(2m))，利用轮廓线优化可以得到O(nm(m/2)^m)的复杂度，题目限制是(n,m)<=(32,32)，最坏情况下该算法的规模为32*32*16^32，这个复杂度实在难以接受，但是如果我们考虑一种特例——矩阵的一个维度特别小，那么这种方法就有很大的优势。

一些收获

　　经过一晚上的奋斗成功在VS2012下完成了performance analyze 和 unit test，第一次做这个非常吃力，但是还是颇有收获，先看看unit test。

　　写了三个测试方法，分别测试了三个选项以及基础情况的输出，使用了三个不同的测试样例，这次为了能更快进行一些初步的unit test实战，没有对数据进行容错处理，所以样例规模都很小，其中TestACondition我只是采用了找一个最大非负连通子块的方法来代替，所以最后的结果只是一个近似值，如果在assert宏里加入容限就能通过test。再看看测试的覆盖率。

　　这个工程我写了一部分函数来模块化，从上表看代码有效性还是很高的，但我初学单元测试，还不是很好的看懂覆盖图。

　　完成第一次单元测试后，个人感觉单元测试这个工具非常有用，但是需要很大的精力维护，它可以很好的维护代码的正确性，单元测试可能非常依赖于测试样例，管理好测试用例对于单元测试是一个重要的组成部分，编写单元测试可能还要遵循简短的方法，我在写单元测试时已经有了一个单元测试的单元测试，但我认为这样的代价是不值得的，好的单元测试应该逻辑清晰而简洁，具有非常好的可读性，以便于维护。

　　这次单元测试我但我耽误时间最多的是配置过程，这里有一个小细节，使用VS2012单元测试时原工程一定要导出一个DLL作为symbol才能正常连接，不过这短时间也让我熟悉了下VS中solution-projects的文件结构，感觉这个结构非常舒服，可以加入很多工具配合在一起使用同一管理，很赞一点设计。

　　最后看一下performance analyze

 

　　performance analyze做起来就太傻瓜化了，一键完成，不过还是学到了新工具，性能分析我使用了一个500*500的大矩阵，矩阵的元素为16位整型范围内，从上图可以看到主要的运算集中在算法模块，我在算法实现上确实牺牲一部分时间系能，程序还能采用空间换时间的方法继续优化，不过都是只是常数上的，而且会破坏代码结构，于是没有进一步优化。