欧拉定理

http://acm.cug.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?cid=1030&pid=0

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Problem A: 高次同余
Time Limit: 1 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 43  Solved: 4
[Submit][Status][Web Board]
Description
在数论专题时我给大家讲过快速模幂，但是今天的题目只用快速模幂算法是解决不了的，A^B mod C 中如果B很大怎么处理呢？ 想想我数论专题讲的其他内容吧！我的题目就是要你编程求出A^B mod C的值是多少。 


Input
有多组测试数据，每组测试数据为一行包括三个数A，B，C由一个空格分开。 (1<=A,C<=1000000000,1<=B<=10^10000).




Output
 对于每组测试数据，输出一个整数，代表A^B mod C的结果。


Sample Input
3 2 4 3 4 5 2 10 1000 3 1000000000 7
Sample Output
1 1 24 4
HINT

提示：x≥ϕ (n)时，ax≡a(x mod ϕ(n)+ ϕ(n)) (mod n)

 知识点：

定义：在数论，对正整数n，欧拉函数是小于等于n的数中与n互质的数的数目。
ϕ (n) =   1..n中与n互质的数的个数
如何求ϕ (n)？
素因子展开+容斥原理
令n = p1r1p2r2...pkrk
ϕ(n)=n*(1-1/p1)*(1-1/p2)*...*(1-1/pk)（为什么？）
提示：欧拉函数是积性函数——若m,n互质，
即：  φ(mn)=φ(m)φ(n)

“被认为是数学世界中最美妙的定理之一”
若a和n互质，则aϕ(n)≡1 (mod n)  （a的ϕ(n)次方）
欧拉定理的推广形式
当x≥ϕ (m)时，ax≡a(x mod ϕ(n)+ ϕ(n)) (mod n)
不需要互素
用途：计算高阶幂次取模
（如何计算？）

 

 

#include<stdio.h> 
#include<string> 
#include<iostream> 
using namespace std; 
#define eps 1e-8 
int Eler(int n) 
{ 
    int i; 
    double tmp=(double)n; 
    for(i=2;i*i<=n;i++) 
    { 
        if(n%i==0) 
        { 
            tmp*=(1-1.0/i); 
            while(n%i==0) 
                n/=i; 
        } 
    } 
    if(n>1) 
        tmp*=(1-1.0/n); 
    tmp+=eps; 
    return (int)tmp; 
} 
int Mod(string b,int q) 
{ 
    int ret=0; 
    for(int i=0;i<b.length();i++) 
    { 
        ret=ret*10+b[i]-'0'; 
        ret%=q; 
    } 
    ret%=q; 
    return ret; 
} 
long long multy(long long q, long long n,int mod) 
{ 
    long long cnt = n; 
    long long base = q; 
    long long ret = 1; 
    while(cnt > 0) 
    { 
        if(cnt & 1) 
            ret = (long long)ret*base%mod; 
        cnt = cnt >> 1; 
        base = (long long)base*base%mod; 
    } 
    return ret; 
} 
int main() 
{ 
    int a,c; 
    string b; 
    int i; 
    while(cin>>a>>b>>c) 
    { 
        int el=Eler(c); 
        int tmp=0; 
  
        for(i=0;i<b.length();i++) 
        { 
            tmp=tmp*10+b[i]-'0'; 
            if(tmp>el)break; 
        } 
        if(tmp>el)tmp=Mod(b,el)+el; 
        //else tmp; 
        long long ans=multy((long long)a%c,(long long)tmp,c); 
  
        printf("%lld\n",ans); 
        b.clear(); 
    } 
    return 0; 
}