【转】博弈之阶梯博弈
baidu先生：
首先是对阶梯博弈的阐述...博弈在一列阶梯上进行...每个阶梯上放着自然数个点..两个人进行阶梯博弈...每一步则是将一个集体上的若干个点( >=1 )移到前面去..最后没有点可以移动的人输.. 如这就是一个阶梯博弈的初始状态 2 1 3 2 4 ... 只能把后面的点往前面放...如何来分析这个问题呢...其实阶梯博弈经过转换可以变为Nim..把所有奇数阶梯看成N堆石子..做nim..把石子从奇数堆移动到偶数堆可以理解为拿走石子..就相当于几个奇数堆的石子在做Nim..( 如所给样例..2^3^4=5 不为零所以先手必败)为什么可以这样来转化？ 假设我们是先手...所给的阶梯石子状态的奇数堆做Nim先手能必胜...我就按照能赢的步骤将奇数堆的石子移动到偶数堆...如果对手也是移动奇数堆..我们继续移动奇数堆..如果对手将偶数堆的石子移动到了奇数堆..那么我们紧接着将对手所移动的这么多石子从那个偶数堆移动到下面的奇数堆...两次操作后...相当于偶数堆的石子向下移动了几个..而奇数堆依然是原来的样子...即为必胜的状态...就算后手一直在移动偶数堆的石子到奇数堆..我们就一直跟着他将石子继续往下移..保持奇数堆不变...如此做下去..我可以跟着后手把偶数堆的石子移动完（为0）..然后你就不能移动这些石子了...所以整个过程..将偶数堆移动到奇数堆不会影响奇数堆做Nim博弈的过程..整个过程可以抽象为奇数堆的Nim博弈... 其他的情况...先手必输的...类似推理...只要判断奇数堆做Nim博弈的情况即可... 为什么是只对奇数堆做Nim就可以...而不是偶数堆呢？...因为如果是对偶数堆做Nim...对手移动奇数堆的石子到偶数堆..我们跟着移动这些石子到下一个奇数堆...那么最后是对手把这些石子移动完..我们不能继续跟着移动...就只能去破坏原有的Nim而导致胜负关系的不确定...所以只要对奇数堆做Nim判断即可知道胜负情况...
首先介绍阶梯博弈：
staircase nim 经典组合游戏
游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上，共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作，将最后一枚硬币移至地上的人获胜。
分析：
这个问题与nim游戏的区别在于移走的硬币不是被扔掉而是被放进了另一堆硬币之中，考虑能否将这一部分楼梯排除考虑范围。奇数号楼梯只能将硬币扔到偶数号楼梯之中，同样偶数号楼梯上的硬币也只会被扔上奇数号楼梯。只考虑奇数号楼梯nim，若偶数楼梯只作容器，那么游戏变为nim。当偶数号楼梯上的硬币可以将硬币移出时，我们是不是仍然可以用nim的方法判断必败状态？
将奇数台阶的硬币数nim和为0称作条件A,结束状态满足条件A；任何满足条件A的状态都到达满足条件A的状态；任何不满足条件A的状态都可以到达满足条件A的状态(nim)。因此一个状态为必败状态当且仅当它满足条件A
如果只考虑奇数位上，把奇数位上的硬币放入偶数位，看做nim的取石子游戏。
那么这是我们类似可以得到奇数位的SG函数。如果我们可以做到使SG=0.
那么如果对方在奇数位上取硬币，那么我们也类似nim在奇数位上取硬币使SG值回到0；
如果对方在偶数位上取硬币。那么我们就把他刚刚从偶数位上传到奇数位上的硬币数。
原封不动的再传回偶数位。这样就可以保持SG=0；
从而保证自己必胜~
Tips@USC:
由此可见单单是staircase nim就有多种变化
下面是给我启示的一段话：
由于只能向左移，而且不能相互交叉。我们把两个硬币之间的空间看作石子堆，一次左移相当于把某个石子堆(楼梯j)的石子移到了右边那个石子堆(楼梯j-1)，最后的区间相当于最低的一层,题目实质就变成了阶梯博弈。
这样 对于POJ的这道题就很好理解了。
关键在于问题转化，为何可以把偶数对的转化成为Nim游戏？
台阶游戏类型1：每次移动1个，移动N位
下面模拟2个小石头的情况：
|_ _ _ _ o _ _ _ _ o _ _ _|
可以这样想，左边的石子跑到左边界，不就是单堆的Nim了？
上图可以转化成:
|o _ _ _ _ o _ _ _ _ _ _ _|
同样地对于下图,两堆的情况:
|_ _ o _ _ o _ o _ _ o _ _|
可以转化为:
|o_ _ o o _ _ o _ _ _ _ _ |
于是乎对于每两个石子之间的空隙数，可以作为Nim游戏中的石子数，简单的Nim大家都知道怎么做了.
WHY?
为何可以转换呢？我们可以知道，可以通过平移来转换成图。为何可以平移转换呢？
相当于A移动某组中左边的石子，则B移动同组中右边的石子相同距离。
同样A移动某组中右边的石子，则B移动同组中左边的石子相同距离。
这样就得到了平移的效果，于是乎，用Nim的方法就能把转化后的问题解决了。
台阶Nim游戏类型2：
在介绍的时就是类型2，移动N个石子,每次一位。这样以偶数号台阶为垃圾桶，A从奇数号（j）台阶拿走N个石子放于偶数号(j-1)台阶(相当于扔掉)，B从中拿回来，放于奇数号(j-2)台阶;同理A从偶数号拿石子。在这种模型下转化成Nim游戏，对奇数号台阶异或操作。
POJ ：1704 Georgia and Bob
题解：链接
类型3：
//每次移动1个,每次1位.这不算博弈吧。我自己想的...
类型4：
//每次N位，一次M个。不知道怎么做... 求解释....
模型三：
阶梯博弈中移动奇数步到达终止态，也相当于其Nim博弈
题目：hdu 3389 Game
题解：链接
