逆序数及其求法
1. 逆序数
所谓逆序数，就是指一个序列S[i]，统计处于序列的每个数的比这个数大并且排在它前面的数的数目，然后对于所有数，把这个数目加起来求和就是了。
比如4 3 1 2
4第一个，所以数目为0
3的前面是4，大于3的数目为1
1的前面是4 3 ，大于1的数目为2
2的前面是4 3 1，大于2的数目为2
所以逆序数为1+2+2 = 5
求逆序数的两种方法
常规方法是按照逆序数的规则做，结果复杂度是O(n*n)，一般来说，有两种快速的求逆序数的方法
分别是归并排序和树状数组法
2. 归并排序
归并排序是源于分而治之思想，详细的过程可以查阅其他资料，总体思想是划分一半，各自排好序后将两个有序序列合并起来。
如何修改归并排序求逆序数?
首先我们假设两个有序序列a[i]和b[i]，当合并时：
由于a[i]已是有序，所以对于a[i]的各个元素来说，排在它前面且比它大的数目都是0
当b[i]中含有比a[i]小的元素时，我们必然将b[i]元素插到前面，那么就是说，在b[i]原先位置到该插的位置中，所有数都比b[i]大且排在它前面
所以这是b[i]的数目为新插入位置newPos - 原来位置oldPos
那么对于一半的序列又怎么做呢？我们知道，归并排序会继续向下递归，而递归完成返回后将是两组有序的序列，并且拿到局部的逆序数，
所以在Merge函数中添加这一计数操作即可
代码示例如下：
#include<stdio.h> #define M 1000 int L[M]; int R[M]; const int Max = 1 <<30; int change = 0; void Merge(int *data,int left,int divide,int right) { int lengthL = divide - left; int lengthR = right - divide; for(int i = 0; i < lengthL; ++i) { L[i] = data[left + i]; } for(int i = 0; i < lengthR; ++i) { R[i] = data[divide + i]; } L[lengthL] = R[lengthR] = Max; int i = 0; int j = 0; for(int k = left; k < right; ++k) { if(L[i] <= R[j]) { data[k] = L[i]; ++i; } else { change += divide - i - left ; data[k] = R[j]; ++j; } printf("%d ",data[k]); } printf("\n"); } void MergeSort(int *data,int left,int right) { if(left < right -1) { int divide = (left + right)/2; MergeSort(data,left,divide); MergeSort(data,divide,right); Merge(data,left,divide,right); } } int main() { int n,i; int map[100]; while(scanf("%d",&n)!=EOF) { for(i=0;i<n;i++) scanf("%d",&map[i]); change=0; MergeSort(map,0,n); printf("%d\n",change); } return 0; }
3. 树状数组
求逆序数的另外一种方法是使用树状数组
对于小数据，可以直接插入树状数组，对于大数据，则需要离散化，所谓离散化，就是将
100 200 300 400 500 ---> 1 2 3 4 5
这里主要利用树状数组解决计数问题。
首先按顺序把序列a[i]每个数插入到树状数组中，插入的内容是1，表示放了一个数到树状数组中。
然后使用sum操作获取当前比a[i]小的数，那么当前i - sum则表示当前比a[i]大的数，如此反复直到所有数都统计完，
比如
4 3 1 2
i = 1 : 插入4 : update(4,1)，sum(4)返回1，那么当前比4大的为i - 1 = 0;
i = 2 : 插入3 : update(3,1)，sum(3)返回1，那么当前比3大的为i - 1 = 1;
i = 3 : 插入1 : update(1,1)，sum(1)返回1，那么当前比1大的为i - 1 = 2;
i = 4 : 插入2 : update(2,1)，sum(2)返回2，那么当前比2大的为i - 2 = 2;
过程很明了，所以逆序数为1+2+2=5
代码示例如下：
//树状数组
__int64 sums[1005];
int len;
inline int lowbit(int t)
{
return t & (t^(t-1));
}
void update(int _x,int _value)
{
while(_x <= len)
{
sums[_x] += _value;
_x += lowbit(_x);
}
}
__int64 sum(int _end)//get sum[1_end]
{
__int64 ret = 0;
while(_end > 0)
{
ret += sums[_end];
_end -= lowbit(_end);
}
return ret;
}
//求逆序数
__int64 ret = 0;
for (__int64 i = 0; i < k; ++i)
{
update(a[i],1);
ret += (i+1) - sum(a[i]);
}
求逆序数的题目有：
http://poj.org/problem?id=2299
http://poj.org/problem?id=3067
