半平面交 （poj 1279（第一道半平面NlogN）完整注释 ）
半平面交的O(nlogn)算法（转载）
求n个半平面的交有三种做法：
第一种就是用每个平面去切割已有的凸多边形，复杂度O(n^2)。
第二种就是传说中的分治算法。将n个半平面分成两个部分，分别求完交之后再将两个相交的区域求交集。由于交出来的都是凸多边形，利用凸多边形的交可以在O(n)时间内完成的性质，将复杂度降为O(nlogn)。
第三种就是ZZY大牛的那篇论文提到的他自创的排序增量算法。但是他的那种做法还是有些复杂，在网上找到evalls写的一个很优美的版本：（原文地址：http://evalls.yo2.cn/articles/%E5%8D%8A%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%BA%A4onlogn%E7%9A%84%E7%AE%97%E6%B3%95.html）
step1. 将所有半平面按极角排序，对于极角相同的，选择性的保留一个。 O(nlogn)
step2. 使用一个双端队列(deque)，加入最开始2个半平面。
step3. 每次考虑一个新的半平面：
a.while deque顶端的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在当前半平面外:删除deque底部的半平面
c.将新半平面加入deque顶端
step4.删除两端多余的半平面。
具体方法是：
a.while deque顶端的两个半平面的交点在底部半平面外:删除deque顶端的半平面
b.while deque底部的两个半平面的交点在顶端半平面外:删除deque底部的半平面
重复a,b直到不能删除为止。
step5:计算出deque顶端和底部的交点即可。
这个算法描述的非常清晰。当初写的时候有两个地方想的不太明白：
step 1如何选择性的保留一个。
step3如何判断交点在半平面外。
其实这两个问题都可以用叉积来解决。首先根据给定的两点顺序规定好极角序。
假定两点o1o2的输入方向是顺时针，那么另一点P是否在其平面内只要判断o1P这个向量是否在o1o2这个向量的右手边即可。对于相同角度的两个半平面(a1a2，b1b2)，可以看a1b1这个向量是否在a1a2这个向量的右手边，每次都要选择更靠近右手边的那个半平面。
利用这个算法求多边形的核（PKU 1279），0.00MS，速度还是很快的。
#include <stdio.h> #include <math.h> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn = 1505; const double eps = 1e-8; int n, pn, dq[maxn], top, bot;//数组模拟双端队列 struct Point //顶点 { double x, y; } p[maxn]; struct Line //线 { Point a, b; double angle;//极角 Line& operator= (Line l) { a.x = l.a.x; a.y = l.a.y; b.x = l.b.x; b.y = l.b.y; angle = l.angle; return *this; } } l[maxn]; int dblcmp(double k)//精度函数 { if (fabs(k) < eps) return 0; return k > 0 ? 1 : -1; } double multi(Point p0, Point p1, Point p2) { //叉积 return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x); } bool cmp(const Line& l1, const Line& l2) { int d = dblcmp(l1.angle-l2.angle); if (!d) return dblcmp(multi(l1.a, l2.a, l2.b)) < 0; //大于0取半平面的左半，小于0取右半 return d < 0; } void addLine(Line& l, double x1, double y1, double x2, double y2) { l.a.x = x1; l.a.y = y1; l.b.x = x2; l.b.y = y2; l.angle = atan2(y2-y1, x2-x1); } void getIntersect(Line l1, Line l2, Point& p) { double A1 = l1.b.y - l1.a.y; double B1 = l1.a.x - l1.b.x; double C1 = (l1.b.x - l1.a.x) * l1.a.y - (l1.b.y - l1.a.y) * l1.a.x; double A2 = l2.b.y - l2.a.y; double B2 = l2.a.x - l2.b.x; double C2 = (l2.b.x - l2.a.x) * l2.a.y - (l2.b.y - l2.a.y) * l2.a.x; p.x = (C2 * B1 - C1 * B2) / (A1 * B2 - A2 * B1); p.y = (C1 * A2 - C2 * A1) / (A1 * B2 - A2 * B1); } bool judge(Line l0, Line l1, Line l2) { Point p; getIntersect(l1, l2, p); return dblcmp(multi(p, l0.a, l0.b)) > 0; //与上面的注释处的大于小于符号相反，大于0，是p在向量l0.a->l0.b的左边，小于0是在右边，当p不在半平面l0内时，返回true } void HalfPlaneIntersect( ) { int i, j; sort(l, l+n, cmp); //极角排序 for (i = 0, j = 0; i < n; i++) if (dblcmp(l[i].angle-l[j].angle) > 0) l[++j] = l[i];//排除极角相同（从了l[1]开始比较） n = j + 1;//个数 dq[0] = 0;//双端队列 dq[1] = 1;//开始入队列两条直线 top = 1; bot = 0; for (i = 2; i < n; i++) { while (top > bot && judge(l[i], l[dq[top]], l[dq[top-1]])) top--; while (top > bot && judge(l[i], l[dq[bot]], l[dq[bot+1]])) bot++; dq[++top] = i; } while (top > bot && judge(l[dq[bot]], l[dq[top]], l[dq[top-1]])) top--; while (top > bot && judge(l[dq[top]], l[dq[bot]], l[dq[bot+1]])) bot++; dq[++top] = dq[bot]; for (pn = 0, i = bot; i < top; i++, pn++) getIntersect(l[dq[i+1]], l[dq[i]], p[pn]);//更新重复利用p数组 } double getArea() { if (pn < 3) return 0; double area = 0; for (int i = 1; i < pn-1; i++) area += multi(p[0], p[i], p[i+1]);//利用p数组求面积 if (area < 0) area = -area; return area/2; } int main() { int t, i; scanf ("%d", &t); while (t--) { scanf ("%d", &n); for (i = 0; i < n; i++) scanf ("%lf%lf", &p[i].x, &p[i].y); for (i = 0; i < n-1; i++) addLine(l[i], p[i].x, p[i].y, p[i+1].x, p[i+1].y); addLine(l[i], p[i].x, p[i].y, p[0].x, p[0].y); HalfPlaneIntersect(); printf ("%.2lf\n", getArea()); } return 0; }
