数论(4)--------求解模线性方程

求解模线性方程  axºb(mod n)

1.必备知识：扩展欧几里得算法的知识，可查看我的数论(3)-------欧拉phi函数

2.基本思路：
   设d=gcd(a,n)，用扩展欧几里得算法解线性方程 ax'+ny'=d.
     如果d|b,则方程axºb(mod n)有一个解的值x0=x'(b/d)mod n
   算法导论里说：（还没理解）
   方程axºb(mod n)有解（即存在d|b,其中d=gcd(a,n)),x0是该方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的
   解，分别为 x(i)=x(0)+i(n/d)(i=1,2,...d).
   特别的设e=x0+n，方程ax=b(mod n)的最小整数解x1=e mod (n/d),最大整数解x2=x1+(d-1)*(n/d)。
   所以实际上用欧几里得算法记得x'就可以知道结果了。
3.源代码模板

 1//扩展欧几里得算法
 2int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
 3{
 4   if(b==0){
 5        x=1;
 6        y=0;
 7        return a;
 8    }
 9    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
10    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
11    return d;
12}

 

 1//用扩展欧几里得解模线性方程ax=b (mod n)
 2bool modularLinearEquation(int a,int b,int n)
 3{
 4    int x,y,x0,i;
 5    int d=Extended_Euclid(a,n,x,y);
 6    if(b%d) 
 7           return false;
 8        x0=x*(b/d)%n;
 9    for(i=1;i<=d;i++)
10       printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
11    return true;
12}
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