数论(2)-------扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法------求解线性方程ax+by=c

1.应用：
      线性方程ax+by=c ,已知a,b,c，求解x,y.

2.基本思路：
    
      ax+by=c有解 => c=k*gcd(a,b)=kd（因为d=gcd(a,b)=>d|(ax+by))
      
      我们先考虑求解  ax+by=d
        由欧几里得算法,d=bx'+(a mod b)y'=bx'+(a-[a/b]b)y'=ay'+b(x'-[a/b])y'    
        则由上述两式子，我们可以得出 x=y' ,y=x'-[a/b]y'
        这样子，在欧几里得算法添加x,y变量，最后得到解。（可结合下面代码源代码进行理解）

      接下来我们来看看ax'+by'=d和ax+by=c之间的关系
      
        （c/d)ax'+(c/d)by'=(c/d)d 即 可以得到 x=(c/d)x',y=(c/d)y'
         
         所以可以得到ax+by的一组解
         那么ax+by=c所有解的形式是什么呢？
             a(x+qb)+b(y-qa)=c; q为任意整数
(注意，当要求y-qa的最小正整数min时,由y-qa>=0， q取[y/a]最小，min=y-[y/a]y,但是,[y/a]可能为0，如果y是负数，min此时也为负数，不好，此时令min+=a就可以取得最小正整数值了（[y/a]=0所以|y|<a),这段可以自己找个例子好好理解下啊）

3.源代码模板
int Extended_Euclid(int a,int b,int& x,int &y)
 {

   if(b==0)

   {
         x=1;
         y=0;
        return a;
    }
    int d=Extended_Euclid(b,a%b,x,y);
    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
    return d;
}
//用扩展欧几里得算法解线性方程ax+by=c;
bool linearEquation(int a,int b,int c,int& x,int &y)
{
    int d=Extended_Euclid(a,b,x,y);
    if(c%d) return false;
    int k=c/d;
   x*=k;y*=k;//求的只是其中一个解   return true;
}

4、多做题，多思考。