关于基本勾股数那些事

目录

• 1.关于奇偶性
• 2.进一步假设
• 3.关于互质
• 4.关于平方
• 完结撒花！！

 

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作者：@炒鸡垃圾的XCR
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若$a^2+b^2=c^2,gcd(a,b,c)=1$
我们将满足这两个条件的数对$(a,b,c)$称为一组基本勾股数,如(3,4,5)就是一组，(5,12,13)也是一组.

那么有以下结论：

$$\{\begin{array}{c}a=m^2-m^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\end{array}$$

其中$m$与$n$需满足:

$$\{\begin{array}{c}m>n>0\\ m\mathrm{和}n\mathrm{中}\mathrm{有}\mathrm{一}\mathrm{奇}\mathrm{一}\mathrm{偶}\\ gcd(m,n)=1\end{array}$$

如何证明呢？

下面进入正题#

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1.关于奇偶性

观察以下的基本勾股数：

$(3,4,5),(5,12,13),(21,20,29)......$

可以发现,a与b之间有一奇一偶

那么，存不存在a与b同奇偶的情况呢？#

我们假设a,b都是偶数，则
$a=2x,b=2y,a^2=4x^2,b^2=4y^2$

代入$a^2+b^2=c^2$可得$c^2=4(x^2+y^2)$

与$gcd(a^2,b^2,c^2)=1$矛盾

所以a和b不能同为偶数

同理，设a,b都是奇数，也会矛盾，这里不再赘述，自行假设

最后，我们可以得到

a与b的奇偶性不同#

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2.进一步假设

在这里，我们假设$a$%$2=1,b$%$2=0$

由$a^2+b^2=c^2$可以得到$b^2=c^2-a^2=(c+a)(c-a)$

光凯说过：“当你不知怎么做时，大胆设元吧！”#

我们设$c-a=2X,b^2=2Y,c+a=2Z$

聪明的你，告诉我，为什么$c-a$与$c+a$为偶数呢？#

自己想

代回原式,得：

$(2Y{)}^2=2Z\ast 2X$

$Y^2=XZ$

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3.关于互质

已知$gcd(a,b,c)=1$，$a$%$2=1,b$%$2=0$，那么：a与c是否互质？

设a与c不互质,那么$gcd(a,c)=d(d>1)$

则$a=dx,c=dy$

则$b=c^2-a^2=d^2(y^2-x^2)$

则与$gcd(a,b,c)=1$矛盾

所以，a与c互质

那么，X与Z是否互质？

我们设X与Z不互质，那么$gcd(X,Z)=d(d>1)$

那么$X=dx,Z=dy$

$Y=d^2\sqrt{XZ}$

则与$gcd(X,Y,Z)=1$矛盾

所以，X与Z互质

！ ！ ！#

这不就有想法了吗？

$Y^2=XZ$，$Y^2$为平方数，所以......

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4.关于平方

因为A与C互质，AC为平方数，所以......

X与Z都是平方数！！！#

为什么，自己想

设$A=n^2,C=m^2$

中间方程自己解！

则：

$$\{\begin{array}{c}a=m^2-n^2\\ b=2mn\\ c=m^2+n^2\end{array}$$

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完结撒花！！