[ARC182E] Sum of Min of Mod of Linear

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[ARC182E] Sum of Min of Mod of Linear

首先把 \(A\) 排序去重。考虑什么时候 \(a_i\) 会成为答案。

对于 \(v_i=C\times i\bmod m\)，一定是希望找一个尽量小的 \(j\) 满足 \(v_i+a_j\geq m\)，这样可以恰好发生一次进位，贡献是 \(m-a_j\)。如果找不到 \(j\)，就会选择 \(a_1\)，贡献是 \(a_1\)。

这样思路就很清晰了：需要计算 \(g_i\) 表示加了 \(a_i\) 恰好进位，并且加了 \(a_{i-1}\) 不进位的 \(v_i\) 的数量，差分一下变成计算 \(f_i\) 表示加了 \(a_i\) 恰好进位的数的个数，则 \(g_i=f_i-f_{i-1}\)。这个可以看成：

\[\sum_{j=0}^K \lfloor\frac{C\times j+a_i}{m}\rfloor- \sum_{j=0}^K \lfloor\frac{C\times j}{m}\rfloor \]

这样如果恰好进位了就会多算 \(1\)。最后再统计答案即可。总复杂度 \(\mathcal O(n\log V)\)。

struct Node{int U,R,x;Node(){U=R=x=0;}};
inline Node operator +(const Node x,const Node y)
{
	Node z;z.U=x.U+y.U,z.R=x.R+y.R;
	z.x=x.x+y.x+x.U*y.R;
	return z;
}
inline Node power(Node x,int y)
{
	Node a=Node();
	for(;y;y>>=1,x=x+x)if(y&1)a=a+x;
	return a;
}
inline int div(int x,int y,int z,int t){return floor(((long double)1.0*x*y+z)/t);}
Node solve(int P,int Q,int R,int L,Node x,Node y)//x:up y:right
{
	if(!L)return Node();
	if(P>=Q)return solve(P%Q,Q,R,L,x,power(x,P/Q)+y);
	int m=div(L,P,R,Q);
	if(!m)return power(y,L);
	int cnt=L-div(Q,m,-R-1,P);
	return power(y,(Q-R-1)/P)+x+solve(Q,P,(Q-R-1)%P,m-1,y,x)+power(y,cnt);
}
int n,m,C,K,a[100010],f[100010],ans;
inline void mian()
{
	read(n,m,C,K),C%=m;Node U,R;U.U=1,R.R=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]),a[i]%=m;
	sort(a+1,a+1+n),n=unique(a+1,a+1+n)-a-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)f[i]=solve(C,m,a[i],K-1,U,R).x-solve(C,m,0,K-1,U,R).x;
	ans=K*(K-1)/2*C-m*solve(C,m,0,K-1,U,R).x;
	ans+=a[1]*(K-f[n]);//不进位
	for(int i=1;i<=n;++i)ans+=(f[i]-f[i-1])*(a[i]-m);//进位
	write(ans);
}