P10008 [集训队互测 2022] Range Minimum Element

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P10008 [集训队互测 2022] Range Minimum Element

难点在于双射构造。

首先考虑给定了 \(b\) 如何进行判定。从小到大填数 \(x\)，每次把能填的地方（\(b_i>x\) 的区间之外）全部填上 \(x\)，这样填一定是最优的。合法当且仅当这样生成的序列 \(a\) 对应的 \(b\) 就是 \(b\) 本身。

发现通过这样的生成方式，合法的 \(a\) 和 \(b\) 是一一对应的，所以对 \(b\) 计数可以转为对能被这样生成的 \(a\) 计数。

如果给定了 \(a\)，如何判 \(a\) 是否合法？找到第一个最小值的位置 \(p\)，把 \(A[1,n]\) 变成 \(A[1,p-1]\) 和 \(A[p+1,n]\)。因为 \([1,p-1]\) 中并没有被填上最小值，所以被 \([1,p-1]\) 包含的区间一定选择的都是大于最小值的数，并且他们的的并集一定是 \([1,p-1]\)。然后递归判断 \(A[1,p-1]\) 和 \(A[p+1,n]\) 是否合法。

上述过程是值域从小到大，分裂序列。计数就考虑值域从大到小，合并序列。\(f_{l,r,x}\) 表示区间 \([l,r]\) 填入了 \([x,c]\) 中的数的方案数。转移就是枚举最小值的位置 \(p\)：

\[\begin{aligned} f_{l,r,x}&\leftarrow [[l,r]\text{合法}]\times f_{l,r,x+1}\\ f_{l,r,x}&\leftarrow [[l,p-1]\text{合法}]\times f_{l,p-1,x+1}\times f_{p+1,r,x} \end{aligned} \]

第一种转移表示区间内没有 \(=x\) 的数。预处理合法区间，暴力做复杂度是 \(\mathcal O(n^3c)\)。套路性的，不难归纳证明 \(f_{l,r,x}\) 是一个关于 \(x\) 的 \(\mathcal O(r-l)\) 次多项式。

令 \(x\leftarrow c-x+1\)，这样可以暴力求得 \(f_{1,n,1\sim n+1}\)，然后可以拉插出 \(x=c\) 的点值，复杂度是 \(\mathcal O(m+n^4)\)。

int n,m,K,f[110][110][110];
bool v[110][110];
inline void mian()
{
	read(n,m,K);int x,y,ans=0;
	while(m--)read(x,y),v[x][y]=1;
	for(int i=n;i>=1;--i)
	{
		for(int j=i;j<=n;++j)
		{
			int x=-1,y=-1;
			for(int k=j;k>=i;--k)if(v[i][k]){x=k;break;}
			for(int k=i;k<=j;++k)if(v[k][j]){y=k;break;}
			if(x==-1||y==-1)continue;
			v[i][j]|=x>=y-1;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)v[i][i-1]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)f[1][i][j]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)for(int j=1;j<=n+1;++j)f[i][j][j-1]=1;
	for(int x=2;x<=n+1;++x)
	{
		for(int i=n;i>=1;--i)
		{
			for(int j=i;j<=n;++j)
			{
				if(v[i][j])f[x][i][j]=f[x-1][i][j];
				for(int k=i;k<=j;++k)if(v[i][k-1])
				Madd(f[x][i][j],Cmul(f[x-1][i][k-1],f[x][k+1][j]));
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n+1;++i)
	{
		int v=1,x=1;
		for(int j=1;j<=n+1;++j)if(i!=j)Mmul(v,Cdel(i,j)),Mmul(x,Cdel(K,j));
		Madd(ans,Cmul(x,power(v,MOD-2),f[i][1][n]));
	}
	write(ans);
}