CF1534G A New Beginning

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CF1534G A New Beginning

不太懂为啥是黑。需要先会基本的 slope trick。

首先切比雪夫距离可以转成曼哈顿距离但是没啥必要。因为只能向右上走，所以考虑把每个关键点归到它属于的斜率为 \(-1\) 的直线上，即按照 \(x_i+y_i\) 排序分类。

容易发现一定是走到了某条灰线上之后再收取该灰线上的所有点。所以设 \(f_{i,j}\) 表示走到了第 \(i\) 条线，当前横坐标为 \(j\) 的最小代价。

然后感觉一下，固定了 \(i\) 这个东西关于 \(j\) 很像是凸的。实际上可以证明这个东西是凸的。考虑归纳，首先从上一条线到这一条线的转移形态：

点 \(x\) 能从上一条线蓝色的部分转移而来，那对应到函数图像上：

可以发现是把斜率大于 \(0\) 的部分像右移动了一段长度。然后对于这条线上的所有关键点，其对于 \(f\) 的贡献是一个绝对值函数（\(|j-x_i|\)）。然后凸函数加凸函数还是凸的，所以归纳成立。

维护这个东西的话，就是开一个对顶堆，维护最低段左侧和右侧的所有拐点。加入一个绝对值函数的时候，根据其和最低的一段的关系分类讨论一下即可（这时可能会出现左侧堆的点跑到右侧堆里去或者相反）。

最后计算答案的时候，由题意得 \(f(0)=\sum x_i\)，然后可以根据这个和左侧堆内的信息来推出最低点的纵坐标（实际上就是减去左侧堆的所有点的横坐标）。总复杂度 \(\mathcal O(n\log n)\)。

int n,len,tg,numa[800010];
pii a[800010];
vector<int> ve[800010];
priority_queue<int> q1;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> q2;
inline void mian()
{
	read(n),q1.e(0),q2.e(0);int s=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i].fi,a[i].se),numa[++len]=a[i].se+a[i].fi,s+=a[i].fi;
	sort(numa+1,numa+1+len),len=unique(numa+1,numa+1+len)-numa-1;
	for(int i=1;i<=n;++i)ve[lower_bound(numa+1,numa+1+len,a[i].se+a[i].fi)-numa].eb(a[i].fi);
	for(int i=1;i<=len;++i)
	{
		tg+=numa[i]-numa[i-1];
		for(auto p:ve[i])
		{
			if(q1.top()<=p&&p<=tg+q2.top())q1.e(p),q2.e(p-tg);
			else if(p<q1.top())q2.e(q1.top()-tg),q1.pop(),q1.e(p),q1.e(p);
			else q1.e(q2.top()+tg),q2.pop(),q2.e(p-tg),q2.e(p-tg);
		}
	}
	while(q1.size())s-=q1.top(),q1.pop();
	write(s);
}