[ARC176E] Max Vector

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[ARC176E] Max Vector

\(n=10\) 其实有点误导性。其实这个题不是指数级的算法，而且贪心也不是很合理，同时“要么...要么...”有点像最小割。

一次操作可以看成要求 \(x_j\geq a_{i,j}\) 或者 \(y_j\geq a_{i,j}\)。考虑切糕的模型，建 \(2n\) 条链，割哪条边就表示第 \(i\) 个变量的取值。其中 \(x_i\) 的链要正着建，\(y_i\) 的链要反着建：

对于每次操作，建一个点 \(i\)，向 \(2n\) 条链连边，其中向 \(x\) 的是出边，假设权值是 \(a_j\),则向第 \(j\) 条链上的第 \(j\) 个点连边，容量 inf。向 \(y\) 的是入边，从第 \(j\) 条链上的第 \(v-a_j+2\) 个点连边向 \(i\)。

这样，就刻画出了“\(\{\forall i,x_i\geq a_i\}\lor\{\forall i,y_i\geq a_i\}\)” 。直接跑最大流就是答案。

const int N=300000,M=3000000,V=500;
int n,m,S,T,s,cnt=1,now[N+10],head[N+10],to[M+10],nex[M+10],v[M+10],d[N+10];
inline void Add(int x,int y,int z){to[++cnt]=y,v[cnt]=z,nex[cnt]=head[x],head[x]=cnt;}
inline void add(int x,int y,int z){Add(x,y,z),Add(y,x,0);}
queue<int> q;
inline bool bfs()
{
	while(!q.empty())q.pop();
	q.e(S),memset(d,0,sizeof(d)),d[S]=1,now[S]=head[S];
	while(!q.empty())
	{
		int nw=q.front();q.pop();
		for(int i=head[nw];i;i=nex[i])
		{
			if(!d[to[i]]&&v[i])
			{
				now[to[i]]=head[to[i]],d[to[i]]=d[nw]+1,q.e(to[i]);
				if(to[i]==T)return 1;
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(int x,int flow)
{
	if(x==T)return flow;
	int rest=flow,t;
	for(int i=now[x];i&&rest;i=nex[i])
	{
		now[x]=i;
		if(!v[i]||d[to[i]]!=d[x]+1)continue;
		t=dinic(to[i],min(rest,v[i])),rest-=t;
		if(!t)d[to[i]]=0;
		v[i]-=t,v[i^1]+=t;
	}
	return flow-rest;
}
#define id(i,j) ((i-1)*(V+1)+j)
inline void mian()
{
	read(n,m),S=n*2*(V+1)+m+1,T=S+1;int x;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		read(x),add(S,id(i,x),inf),add(id(i,V+1),T,inf);
		for(int j=1;j<=V;++j)add(id(i,j),id(i,j+1),j),v[cnt]=inf;
	}
	for(int i=n+1;i<=n*2;++i)
	{
		read(x),add(S,id(i,1),inf),add(id(i,V+2-x),T,inf);
		for(int j=1;j<=V;++j)add(id(i,j),id(i,j+1),V-j+1),v[cnt]=inf;
	}
	for(int i=1;i<=m;++i)for(int j=1;j<=n;++j)
	read(x),add(i+n*2*(V+1),id(j,x),inf),add(id(j+n,V+2-x),i+n*2*(V+1),inf);
	while(bfs())while((x=dinic(S,inf)))s+=x;
	write(s);
}