P6109 [Ynoi2009] rprmq1
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毒瘤 Ynoi。
对于加的矩形，显然是差分的拆成 \((l_1,l_2,r_2,+v)\) 和 \((r_1,l_2,r_2,-v)\) 两个线段。如果是查询的是和那是好做的，线段树历史和板子。
但是要查的是最大值，矩形查最大值因为没有可减性，不能差分，非常的困难。考虑一个弱化问题：如果是查 \(3-\text{side}\) 矩形的最大值，这样是好做的，扫描 \(x\) 轴，\(y\) 轴维护一棵线段树，支持区间加和区间查询历史最大值即可。
这启发我们把 \(4-\text{side}\) 矩形转化。考虑对于每个询问找到一条竖线，把询问从中间劈开，变成两个 \(3-{\text{side}}\) 矩形。这样仍然保留线段树维护 \(y\) 轴，从中间向左做一遍，向右再做一遍就能得到答案。
处理这种问题，最常用的就是猫树分治：建一棵线段树，对于每个询问在 \(x\) 坐标上找到它跨过中点的最浅的节点把询问挂在这个节点上。然后 \(y\) 坐标上再用线段树区间加，查询历史最大值维护。
朴素分治
设当前处理的区间是 \(x:[l,r]\)（横坐标），需要知道的是两棵下标是 \(y\) 坐标的线段树：
-
维护横坐标在 \([1,l-1]\) 的所有线段的和与历史最大值。
-
维护横坐标在 \([r+1,n]\) 的所有线段的和与历史最大值。
这样处理该区间的时候，先用第一棵线段树从 \(l\) 向 \(r\) 扫，遇到挂在该节点的询问的右端点时就更新答案。假设询问的 \(x\) 区间是 \([l_i,r_i]\)，这部分处理的是 \(x\in[mid+1,r_i]\) 的所有位置对询问的贡献。
但是这样会有问题：希望查询的是 \(x\in[mid+1,r]\) 的历史最大值，但是这样会统计上 \([1,mid]\) 的贡献。
解决方案是在 \(mid+1\) 处全局加 \(\text{INF}\)，查询的时候的真实结果是 \(\text{ask}-sum\)，这样 \([1,mid]\) 的所有历史最大值就一定劣于 \([mid+1,r]\)。
然后再用第二棵线段树从 \(r\) 向 \(l\) 扫一遍，处理 \(x\in[l_i,mid]\) 对询问的贡献。做和上面一样的过程即可。
接下来是向左和向右递归。向左递归时，右侧线段树应当加入 \(x\in[mid+1,r]\) 的所有线段。
这时就会发现需要做一个撤销或者是可持久化的过程，空间有点不优秀或者是常数比较大还不好写。
进一步优化
考虑把同层分治放到一起处理。如：
假设处理的是灰色区间，这样需要扫 \(3\) 遍，第一次是第一层，第二次处理第二层，以此类推。
处理一层的时候和分治的时候差不多，从 \(1\) 扫到 \(n\)，遇到线段就加入，遇到黑区间的左端点就全局 \(+\text{INF}\)（查询的时候再减回来）。这样就不需要做线段树的可持久化或者是撤销。需要扫 \(2\log n\) 次，每次的加矩形的复杂度是 \(\mathcal O(m\log n)\)，每个询问只会在某一层造成复杂度，所以总复杂度是 \(\mathcal O(m\log^2 n+q\log n)\)。
一些细节
可以先把 \(n\) 设成 \(65536\) 方便进行中点分治。把平面加矩形拆成线段的时候，需要注意不能用在 \(l\) 处加，\(r+1\) 处减，共用一个 vector。因为有全局加 \(\text{INF}\) 的操作，这样处理会有边界的问题，比如一个矩形的右端点是白区间的右端点，就会先加 \(\text{INF}\) 再减去该矩形右侧的线段，导致出错。
正确的姿势是开两个 vector，一个在 \(l_1\) 处存 \((l_2,r_2,v)\)，一个在 \(r_1\) 处存 \((l_2,r_2,v)\)，这样从左向右扫的时候，在一个点上的操作就是：
-
处理第一个 vector 中的加。
-
处理询问。
-
处理第二个 vector 中的减。
这样可以规避许多问题。需要开 ll，但是不要全开，容易 TLE。
int n,m,q;
ll ans[500010];
struct Node{int l1,r1,l2,r2,id;}b[500010];
vector<tup> ve[65537],ev[65537],qu[65537];
namespace Segment
{
#define ls(p) (t[p].l+t[p].r)
#define rs(p) (ls(p)^1)
struct{int l,r;ll v,s,tg2,tg3;}t[132000];
inline void update(int p){t[p].v=max(t[ls(p)].v,t[rs(p)].v),t[p].s=max(t[ls(p)].s,t[rs(p)].s);}
inline void down(int p,ll x)
{
t[p].tg2+=x,Mmax(t[p].tg3,t[p].tg2);
t[p].v+=x,Mmax(t[p].s,t[p].v);
}
inline void down2(int p,ll x){Mmax(t[p].tg3,x+t[p].tg2),Mmax(t[p].s,t[p].v+x);}
inline void spread(int p)
{
down2(ls(p),t[p].tg3),down2(rs(p),t[p].tg3);
down(ls(p),t[p].tg2),down(rs(p),t[p].tg2);
t[p].tg2=t[p].tg3=0;
}
void build(int p,int l,int r)
{
t[p]={l,r,0,0,0,0};
if(l==r)return;
int mid=l+((r-l)>>1);
build(ls(p),l,mid),build(rs(p),mid+1,r);
}
void modify(int p,int l,int r,ll x)
{
if(l<=t[p].l&&r>=t[p].r)return down(p,x);
spread(p);
if(l<=t[ls(p)].r)modify(ls(p),l,r,x);
if(r>t[ls(p)].r)modify(rs(p),l,r,x);
update(p);
}
ll ask(int p,int l,int r)
{
if(l<=t[p].l&&r>=t[p].r)return t[p].s;
spread(p);
if(r<=t[ls(p)].r)return ask(ls(p),l,r);
if(l>t[ls(p)].r)return ask(rs(p),l,r);
return max(ask(ls(p),l,r),ask(rs(p),l,r));
}
#undef ls
#undef rs
}
using namespace Segment;
namespace Segment2
{
#define ls(p) (t2[p].l+t2[p].r)
#define rs(p) (ls(p)^1)
#define fa(p) t2[p].fa
vi T[18];
struct{int l,r,fa;vi ve;}t2[132000];
void build2(int p,int l,int r,int dp=0)
{
t2[p].l=l,t2[p].r=r,T[dp].eb(p);
if(l==r)return;
int mid=l+((r-l)>>1);
fa(ls(p))=fa(rs(p))=p;
build2(ls(p),l,mid,dp+1),build2(rs(p),mid+1,r,dp+1);
}
void push(int p,int l,int r,int id)
{
int mid=ls(p)>>1;
if((l<=mid&&mid<r)||t2[p].r-t2[p].l==1)
return t2[p].ve.eb(id),void();
if(r<=mid)return push(ls(p),l,r,id);
return push(rs(p),l,r,id);
}
}
using namespace Segment2;
const ll If=180000000000000;
inline void mian()
{
read(n,m,q),n=65536,build2(1,1,n);int l1,l2,r1,r2;ll v;
for(int i=1;i<=m;++i)
{
read(l1,l2,r1,r2,v);
ve[l1].eb(tup(l2,r2,v));
ev[r1].eb(tup(l2,r2,v));
}
for(int i=1;i<=q;++i)
{
read(b[i].l1,b[i].l2,b[i].r1,b[i].r2);
b[i].id=i,push(1,b[i].l1,b[i].r1,i);
}
for(int i=1;i<=16;++i)
{
build(1,1,n);
for(auto p:T[i-1])for(auto x:t2[p].ve)
if(b[x].r1>t[ls(p)].r)
qu[b[x].r1].eb(tup(b[x].l2,b[x].r2,x));
ll sum=0;
for(auto p:T[i])
{
if(p==rs(fa(p)))sum+=If,modify(1,1,n,If);
for(int j=t2[p].l;j<=t2[p].r;++j)
{
for(auto x:ve[j])
modify(1,x.x,x.y,x.z);
for(auto x:qu[j])
ans[x.z]=max(ans[x.z],ask(1,x.x,x.y)-sum);
for(auto x:ev[j])
modify(1,x.x,x.y,-x.z);
}
}
for(auto p:T[i-1])for(auto x:t2[p].ve)qu[b[x].r1].clear();
reverse(T[i].begin(),T[i].end());
build(1,1,n),sum=0;
for(auto p:T[i-1])for(auto x:t2[p].ve)
if(b[x].l1<=t[ls(p)].r)
qu[b[x].l1].eb(tup(b[x].l2,b[x].r2,x));
for(auto p:T[i])
{
if(p==ls(fa(p)))sum+=If,modify(1,1,n,If);
for(int j=t2[p].r;j>=t2[p].l;--j)
{
for(auto x:ev[j])modify(1,x.x,x.y,x.z);
for(auto x:qu[j])ans[x.z]=max(ans[x.z],ask(1,x.x,x.y)-sum);
for(auto x:ve[j])modify(1,x.x,x.y,-x.z);
}
}
for(auto p:T[i-1])for(auto x:t2[p].ve)qu[b[x].l1].clear();
}
for(int i=1;i<=q;++i)write(ans[i],'\n');
}
