P8990 [北大集训 2021] 小明的树

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P8990 [北大集训 2021] 小明的树

首先连通块个数可以用经典的点边转化，用点的个数减去边的条数。

观察之后可以发现定合法的充要条件是黑色的点构成一个连通块，同样使用点边转化。

现在可以看成有两个序列（时间轴），\(V\) 和 \(S\)，操作是区间 \(v\) 的修改，区间 \(s\) 的修改，和查询全局 \(v=1\) 的 \(s\) 的和。

对于一个点，设 \(p_i\) 为其出现时间，则其在 \([1,p_i-1]\) 上对 \(v\) 有 \(1\) 的贡献，在 \([p_i,n]\) 上对 \(s\) 有 \(1\) 的贡献。

对于一条边，设 \(p_1\) 为两端点出现较早的时间，\(p_2\) 为较晚点的出现时间，则其在 \([1,p_1-1]\) 上对 \(v\) 有 \(-1\) 的贡献，在 \([p_2,n]\) 上对 \(s\) 有 \(-1\) 的贡献。

容易发现操作一定保证 \(v\geq 1\)，所以线段树维护区间 \(v\) 是最小值的 \(s\) 的和，修改就直接把原来边的贡献删掉，再加入新的边。经典答案和树形态无关，复杂度是 \(\mathcal O((n+q)\log n)\)。

	int n,m,a[500010];
	vector<pii> ve;
	namespace Segment
	{
		#define ls(x) (t[x].l+t[x].r)
		#define rs(x) (ls(x)^1)
		struct{int l,r,v,s,sz,tg1,tg2;}t[1000010];
		inline void update(int x)
		{
			t[x].v=min(t[ls(x)].v,t[rs(x)].v),t[x].s=t[x].sz=0;
			if(t[x].v==t[ls(x)].v)t[x].s+=t[ls(x)].s,t[x].sz+=t[ls(x)].sz;
			if(t[x].v==t[rs(x)].v)t[x].s+=t[rs(x)].s,t[x].sz+=t[rs(x)].sz;
		}
		inline void down1(int p,int x){t[p].tg1+=x,t[p].v+=x;}
		inline void down2(int p,int x){t[p].tg2+=x,t[p].s+=t[p].sz*x;}
		inline void spread(int p)
		{
			down1(ls(p),t[p].tg1),down1(rs(p),t[p].tg1);
			down2(ls(p),t[p].tg2),down2(rs(p),t[p].tg2);
			t[p].tg1=t[p].tg2=0;
		}
		void build(int p,int l,int r)
		{
			t[p].l=l,t[p].r=r;
			if(l==r)return t[p].sz=1,t[p].v=l==n,void();
			int mid=l+((r-l)>>1);
			build(ls(p),l,mid),build(rs(p),mid+1,r),update(p);
		}
		void modify1(int p,int l,int r,int x)
		{
			if(l<=t[p].l&&r>=t[p].r)return down1(p,x);
			spread(p);
			if(l<=t[ls(p)].r)modify1(ls(p),l,r,x);
			if(r>t[ls(p)].r)modify1(rs(p),l,r,x);
			update(p);
		}
		void modify2(int p,int l,int r,int x)
		{
			if(l<=t[p].l&&r>=t[p].r)return down2(p,x);
			spread(p);
			if(l<=t[ls(p)].r)modify2(ls(p),l,r,x);
			if(r>t[ls(p)].r)modify2(rs(p),l,r,x);
			update(p);
		}
		void print(int p)
		{
			write(t[p].l,' ',t[p].r,' ',t[p].v,' ',t[p].s,'\n');
			if(t[p].l==t[p].r)return;
			spread(p),print(ls(p)),print(rs(p));
		}
	}
	using namespace Segment;
	inline void add(pii p,int v)
	{
		if(a[p.fi]>a[p.se])swap(p.fi,p.se);
		if(a[p.fi]>1)modify1(1,1,a[p.fi]-1,-v);
		modify2(1,a[p.se],n,-v);
	}
	inline void add(int p,int v)
	{
		if(a[p]>1)modify1(1,1,a[p]-1,v);
		modify2(1,a[p],n,v);
	}
	inline void mian()
	{
		read(n,m),a[1]=n,build(1,1,n);int x,y;
		for(int i=1;i<n;++i)read(x,y),ve.eb(mp(x,y));
		for(int i=1;i<n;++i)read(x),a[x]=i;
		for(int i=1;i<=n;++i)add(i,1);
		for(auto p:ve)add(p,1);
		if(t[1].v==1)write(t[1].s-1,'\n');
		else puts("0");
		while(m--)
		{
			read(x,y),add(mp(x,y),-1),read(x,y),add(mp(x,y),1);
			if(t[1].v==1)write(t[1].s-1,'\n');
			else puts("0");
		}
	}