[ARC150F] Constant Sum Subsequence

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[ARC150F] Constant Sum Subsequence

很有意思的题。

设 \(nex_{i,j}\) 表示位置 \(i\) 后面的最小的满足 \(k>i\wedge a_k=j\) 的 \(k\)，则问题可以抽象为：

\[f_i=\max_{j=1}^inex_{f_{i-j},j} \]

直接做是 \(\mathcal O(S^2\log S)\) 的。这个东西也不像是用线段树之类的东西可以优化的，打表发现也没有决策单调性，考虑从问题本身入手。

关键性质：\(f\) 严格单调递增。证明很简单，可以在 \(f_{i-1}\) 对应的子序列后面加一个 \(1\)，所以 \(f_i>f_{i-1}\)。

考虑用类似 CDQ 分治的思路，分治计算 \(f\)。假设当前计算 区间 \([l,r]\)，先计算左半边 \([l,\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor]\)，然后考虑左对右的贡献，然后计算右半边 \([\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor+1,r]\)。

因为 \(f\) 是单调递增的，所以 \(\forall i\in[\lfloor\frac{l+r}{2}\rfloor+1,r],f_i>f_{mid}\)。考虑对于每一个 \(j\)，左半边的 \(nex\) 应当是这样的：

其中上下位置代表 \([l,r]\)，小方格的左右位置代表 \(f_i\)，向右的线表示 \(nex_{f_i,j}\)。注意到左上角的两个 \(f\) 一定没有贡献，有贡献的一定是最右边的一段区间，这时候可以 seg beats 直接做了，但是其实还是没有必要。因为 \(f\) 严格单增，所以我们只需要考虑第三个小方格的贡献即满足 \(nex_{f_i,j}=nex_{f_{mid},j}\) 的最小的 \(i\)，因为用 \(f_i\) 去更新 \(f_{i+j}\) 之后不可能用 \(f_{i+1}\) 去更新 \(f_{i+j+1}\)，因为两者的 \(nex\) 是一样的。所以只需要枚举每一个 \(j\)，找到满足要求的最小的 \(i\) 去更新右半部分的数组即可，需要注意边界问题。复杂度 \(\mathcal O(S\log S\log n)\)，代码并不难写。

注意观察性质可以使问题得到很大的简化。其中分治的本质是找到一个合适的分界线来寻找最优决策点。

	int n,m,a[1500010],lst[200010],pr[1500010],f[200010];
	vector<int> ve[200010];
	inline int nex(int i,int j)
	{
		auto it=upper_bound(ve[j].begin(),ve[j].end(),(i-1)%n+1);
		if(it==ve[j].end())return ve[j].front()+((i-1)/n+1)*n;
		return *it+(i-1)/n*n;
	}
	int find(int L,int R,int x)
	{
		int mid;
		while(L<R)
		{
			mid=L+((R-L)>>1);
			if(f[mid]>=x)R=mid;
			else L=mid+1;
		}
		return L;
	}
	void solve(int l,int r)
	{
		if(l==r)return;
		int mid=l+((r-l)>>1),pos,pre;
		solve(l,mid);
		for(int i=1;i<=r-l;++i)
		{
			pos=nex(f[mid],i),pre=(pos-1)/n*n+pr[(pos-1)%n+1];
			pre=find(l,mid,pre);
			if(pre+i>r)continue;
			pre=max(pre,mid+1-i);
			assert(pre+i>mid);
			assert(pre+i<=r);
			assert(nex(f[pre],i)==pos);
			assert(pre==l||nex(f[pre-1],i)!=pos);
			f[pre+i]=max(f[pre+i],pos);
		}
		solve(mid+1,r);
	}
	inline void mian()
	{
		read(n,m);
		for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]),ve[a[i]].eb(i);
		for(int i=1;i<=n;++i)lst[a[i]]=i-n;
		for(int i=1;i<=n;++i)pr[i]=lst[a[i]],lst[a[i]]=i;
		solve(0,m),write(f[m]);
	}