P9678 [ICPC2022 Jinan R] Tree Distance
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支配对，不是非常难。
显然如果 \(a\leq b<c\leq d\) 且 \(dis(a,d)>dis(b,c)\) 则点对 \((a,d)\) 是无用的，猜想点对数不会太多，事实也正是如此。
树上距离是很复杂的东西，考虑简化：使 \(root\) 为根，暂且让 \(dis(x,y)=dep_x+dep_y\)（正确性后面会证）。此时一个点对 \((x,y)\) 是有用的的充要条件是不存在 \(x\leq a<b\leq y\) 且\(dep_a+dep_b<dep_x+dep_y\)。
这个条件仍然不好刻画，观察一下性质可以发现充要条件可以变成：\(dep_x,dep_y\) 是区间 \([x,y]\) 中 \(dep\) 的最小和次小值，充分性和必要性都显然。这样钦定一个根最多会有 \(\mathcal O(siz_x)\) 个点对。
一个推论是支配点对一定不会出现相交。所以可以类似分治的思想：把点按照编号排序，此时能和最左边的点匹配的点一定是类似单调栈一样的东西，可以记录 \(nx_i\) 表示编号比 \(i\) 大且 \(dep\) 比 \(i\) 小的最小的点，这样暴力跳，因为一定不会出现相交，分治的时候递归 \((now,nx_{now})\) 即可。
上面还有一个问题：我们是强制让 \(dis(x,y)=dep_x+dep_y\) 的，但是实际距离可能并不是。但是这个并不会影响任何东西。首先如果 \((x,y)\) 作为支配点对出现，那不会影响任何东西（常熟可能会大一些）。如果通过 \(a\leq x<y\geq b\) 用 \((x,y)\) 把 \((a,b)\) 叉掉了，那如果 \(dis(a,b)\) 变得更小一定更能叉掉。所以上面讨论的实际上是一个必要的点对，但是复杂度是对的。剩下的东西就是淀粉质板子了。最后扫描线树状数组维护后缀 \(\min\)，复杂度 \(\mathcal O(n\log^2n+q\log n)\)。
int n,m,cnt,len,ans[1000010],head[200010],v[400010],to[400010],nex[400010];
inline void add(int x,int y,int z){v[++cnt]=z,to[cnt]=y,nex[cnt]=head[x],head[x]=cnt;}
vector<pii> ve[200010],qu[200010];
namespace BIT
{
int t[200010];
inline void add(int x,int y){for(;x;x-=x&-x)Mmin(t[x],y);}
inline int ask(int x){int s=INF;for(;x<=n;x+=x&-x)Mmin(s,t[x]);return s;}
}
using namespace BIT;
namespace Starch
{
int nx[200010],id[200010],siz[200010],dep[200010],a[200010],len,root,all;
bool vis[200010];
set<int> st;
void find(int x,int fa)
{
siz[x]=1;int maxn=0;
for(int i=head[x];i;i=nex[i])
{
if(to[i]==fa||vis[to[i]])continue;
find(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]],Mmax(maxn,siz[to[i]]);
}
if(max(maxn,all-siz[x])<=all/2)root=x;
}
void dfs(int x,int fa)
{
a[++len]=x;
for(int i=head[x];i;i=nex[i])
{
if(to[i]==fa||vis[to[i]])continue;
dep[to[i]]=dep[x]+v[i],dfs(to[i],x);
}
}
void calc(int l,int r)
{
int now=l+1;
while(now&&now<=r)
{
ve[a[now]].eb(mp(a[l],dep[a[l]]+dep[a[now]]));
if(dep[a[now]]<dep[a[l]]||!nx[now])return calc(now,r);
calc(now,min(r,nx[now])),now=nx[now];
}
}
inline bool cmp(int x,int y){return dep[a[x]]<dep[a[y]]||(dep[a[x]]==dep[a[y]]&&x>y);}
void starch(int x)
{
find(x,0),find(x=root,0),vis[x]=1,dep[x]=len=0,dfs(x,0),sort(a+1,a+1+len);
for(int i=1;i<=len;++i)id[i]=i;
sort(id+1,id+1+len,cmp),st.clear();
for(int i=1;i<=len;++i)
{
auto it=st.lower_bound(id[i]);
if(it==st.end())nx[id[i]]=0;else nx[id[i]]=*it;
st.insert(id[i]);
}
calc(1,len);
for(int i=head[x];i;i=nex[i])if(!vis[to[i]])all=siz[to[i]],starch(to[i]);
}
}
using namespace Starch;
inline void mian()
{
read(n),all=n;int x,y,z;
for(int i=1;i<=n;++i)t[i]=INF;
for(int i=1;i<n;++i)read(x,y,z),add(x,y,z),add(y,x,z);
read(m),starch(1);
for(int i=1;i<=m;++i)read(x,y),qu[y].eb(mp(x,i));
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(auto j:ve[i])add(j.fi,j.se);
for(auto j:qu[i])ans[j.se]=ask(j.fi);
}
for(int i=1;i<=m;++i)write(ans[i]==INF?-1:ans[i],'\n');
}
