P9447 [ICPC2021 WF] Spider Walk 题解
很有意思的一道题。
设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 根线的答案，首先有一个关键结论：任意两根相邻的线答案只差一定小于 \(1\)。原因显然，可以在无限远的地方加一根线来构造。该结论可以扩展一下，对于距离为 \(d\) 的两根线，答案之差不会超过 \(d\)。
考虑进行倒着加线，考虑加了一根线会有什么影响：首先会把这两根线的答案交换，然后用上面的结论去更新答案。
对于交换的两根线，交换了之后不一定是最优解，可能可以用其他线的答案更新，这个东西似乎不太好高效维护。
但是事实上，只用左右相邻的两根线来更新代价就是对的。如果存在使用距离它大于等于 \(2\) 的线来更新它的答案比和它相邻的线优秀，假设用来更新的线在此线的右边，则一定有：
\[f_x+x-i>f_{i+1}+1
\]
移一下项，
\[f_{i+1}-f_x>x-(i+1)
\]
与结论相悖，所以原命题正确。接下来考虑用这两根线去更新其他线的答案。发现操作本质是对 \(i\in [l,r]\) 的 \(i\) 执行 \(f_i=\min(f_i,k+i)\)（或者 \(i\) 的符号相反），可以直接 segment beats 线段树维护。用 \(tagl,tagr\) 分别表示左边和右边取 \(\min\) 的最小值，下传标记的细节见代码。
int n,m,s;
namespace Segment
{
struct{int l,r,tagl,tagr;}t[800010];
inline void downl(int p,int tagl){t[p].tagl=min(t[p].tagl,tagl);}
inline void downr(int p,int tagr){t[p].tagr=min(t[p].tagr,tagr);}
inline void spread(int p)
{
downl(p*2,t[p].tagl),downl(p*2+1,t[p].tagl+t[p*2+1].l-t[p*2].l);
downr(p*2+1,t[p].tagr),downr(p*2,t[p].tagr+t[p*2+1].r-t[p*2].r);
t[p].tagl=t[p].tagr=INF;
}
void build(int p,int l,int r)
{
t[p].l=l,t[p].r=r,t[p].tagl=t[p].tagr=INF;
if(l==r)return;
int mid=l+((r-l)>>1);
build(p*2,l,mid),build(p*2+1,mid+1,r);
}
int ask(int p,int x)
{
if(t[p].l==t[p].r)return min(t[p].tagl,t[p].tagr);
return spread(p),x<=t[p*2].r?ask(p*2,x):ask(p*2+1,x);
}
void modifys(int p,int x,int y)
{
if(t[p].l==t[p].r)return t[p].tagl=t[p].tagr=y,void();
spread(p);
if(x<=t[p*2].r)modifys(p*2,x,y);else modifys(p*2+1,x,y);
}
void modifyl(int p,int x,int y)
{
if(x<=t[p].l)return downl(p,y+t[p].l-x);
spread(p),modifyl(p*2+1,x,y);
if(x<=t[p*2].r)modifyl(p*2,x,y);
}
void modifyr(int p,int x,int y)
{
if(x>=t[p].r)return downr(p,y+x-t[p].r);
spread(p),modifyr(p*2,x,y);
if(x>t[p*2].r)modifyr(p*2+1,x,y);
}
inline void change(int x,int y){modifyl(1,x,y),modifyr(1,x,y),modifyl(1,1,n-x+1+y),modifyr(1,n,x+y);}
}
using namespace Segment;
pii a[500010];
inline bool cmp(pii p1,pii p2){return p1.fi>p2.fi;}
inline void mian()
{
read(n,m,s),build(1,1,n),change(s,0);
for(int i=1;i<=m;++i)read(a[i]);
sort(a+1,a+1+m,cmp);
for(int i=1;i<=m;++i)
{
a[i].fi=a[i].se,a[i].se=a[i].fi%n+1;
int lef=ask(1,a[i].fi),rig=ask(1,a[i].se);
swap(lef,rig);
modifys(1,a[i].fi,lef),modifys(1,a[i].se,rig);
int Minl=ask(1,a[i].fi-1==0?n:a[i].fi-1);
if(Minl+1<lef)modifys(1,a[i].fi,Minl+1);
Minl=ask(1,a[i].se==n?1:a[i].se+1);
if(Minl+1<rig)modifys(1,a[i].se,Minl+1);
change(a[i].fi,lef),change(a[i].se,rig);
}
for(int i=1;i<=n;++i)write(ask(1,i),'\n');
}
