正交多项式

概念

函数W(x)若在区间(a,b)可积,且W(x)0,则可以作为权函数。

对于一个多项式的序列fi和权函数W(x),定义内积:fm,fn=abfm(x)fn(x)W(x)dx

nmfm,fn=0。则这些多项式被称为正交多项式(Orthogonal Polynomials)。

fi除了正交之外,还有fm,fn=1的话,则称为规范正交多项式

例子

若权函数为1,区间为(1,1),并且f0(x)=1,对应的正交多项式有:

f1(x)=xf2(x)=3x212f3(x)=5x33x2f4(x)=35x430x2+38

它们被称为勒让德多项式

对于任意向量空间的基,Gram-Schmidt 正交化可以求出一个正交基。对于多项式空间的基,正交化的结果便是勒让德多项式。

性质

递归方程

fn+1=(an+xbn)fncnfn1where bn=kn+1knan=bn(kn+1kn+1knkn)cn=bn(kn1hnknhn1)hn=fn,fn

实根

所有正交多项式系中的正交多项式都有n个实根,这些根是相异的并且在正交区间之内。

奇偶性

W(x)为偶函数,且正交区间为(a,a),则由fn(x)=(1)nfn(x).

参考资料

正交多项式 - Wikipedia

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