[TJOI2012]桥
Description
有n个岛屿，m座桥，每座桥连通两座岛屿，桥上会有一些敌人，玩家只有消灭了桥上的敌人才能通过，与此同时桥上的敌人会对玩家造成一定伤害。而且会有一个大Boss镇守一座桥，以玩家目前的能力，是不可能通过的。而Boss是邪恶的，Boss会镇守某一座使得玩家受到最多的伤害才能从岛屿1到达岛屿n(当然玩家会选择伤害最小的路径)。
问，Boss可能镇守桥有哪些。
Input
第一行两个整数n,m
接下来m行，每行三个整数s,t,c，表示一座连接岛屿s和t的桥上的敌人会对玩家造成c的伤害。
1<=n<=100000，1<=m<=200000，1<=c<=10000，数据保证玩家可以从岛屿1到达岛屿n
Output
一行，两个整数d,cnt，d表示有Boss的情况下，玩家要受到的伤害，cnt表示Boss有可能镇守的桥的数目。
Sample Input
3 4
1 2 1
1 2 2
2 3 1
2 3 1
Sample Output
3 1
首先简化题面，问去掉原图的一条边之后，令新图S到T的最短路长度最大的方案数
我们要明白一件事，割的边肯定是最短路径上的边，那么我们就找一条最短路径，考虑经过其他的边的贡献。如果经过其他路径的话，我们一定是走形如\(S\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow T\)的形式，并且\(A\rightarrow B\)一定是一条边，是路径我就在其中找一条边出来充当\(A\rightarrow B\)
那么\(A\rightarrow B\)会对哪些点造成贡献呢？首先明白\(S\rightarrow A\)的路线，一定是\(S\rightarrow x\rightarrow A\)，其中x是最短路径上的某一个点，那么有贡献的肯定是x到T路径上的点。上界找完了，下界呢？
既然上界是根据S开始走的路线，那么我们反着求一遍最短路，找一个类似的点y满足\(T\rightarrow y\rightarrow B\)，那么下界肯定就是y了。
也就是说这条路径形如\(S\rightarrow x\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow y\rightarrow T\)，因此说明只要\(x\rightarrow y\)之间的某条路径被删了，我们就可以走\(A\rightarrow B\)这条路线，这样我们就可以把走\(A\rightarrow B\)的贡献加到区间\(x\rightarrow y\)中，维护最小值，最后取出所有路径中的最大值统计个数即可
这样弄好之后，我们相当于枚举一条边，在一段区间进行更新，这样我们就可以用线段树来进行维护了
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x>=10) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5,M=2e5;
int pre[(M<<1)+10],now[N+10],child[(M<<1)+10],val[(M<<1)+10];
int dfn[N+10],L[N+10],R[N+10],h[N+10];
bool vis[N+10],In_way[N+10],flag[(M<<1)+10];
int n,m,tot,num,Ans,Max,Dis;
struct S1{
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define fa (p>>1)
struct node{
int x,v;
bool operator <(const node &a)const{return v<a.v;}
}Q[N+10];
int tot;
void insert(int x,int v){
Q[++tot]=(node){x,v};
int p=tot;
while (p!=1&&Q[p]<Q[fa]) swap(Q[p],Q[fa]),p=fa;
}
void Delete(){
Q[1]=Q[tot--];
int p=1,son;
while (ls<=tot){
if (rs>tot||Q[ls]<Q[rs]) son=ls;
else son=rs;
if (Q[son]<Q[p]) swap(Q[p],Q[son]),p=son;
else break;
}
}
}Heap;
struct Segment{
int tree[(N<<2)+10];
Segment(){memset(tree,127,sizeof(tree));}
void Add_tag(int p,int v){tree[p]=min(tree[p],v);}
void pushdown(int p){
if (tree[p]==inf) return;
Add_tag(ls,tree[p]);
Add_tag(rs,tree[p]);
}
void Modify(int p,int l,int r,int x,int y,int v){
if (x<=l&&r<=y){
Add_tag(p,v);
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) Modify(ls,l,mid,x,y,v);
if (y>mid) Modify(rs,mid+1,r,x,y,v);
}
void traversals(int p,int l,int r){
if (l==r){
if (tree[p]>Max) Max=tree[p],Ans=0;
Ans+=tree[p]==Max;
return;
}
pushdown(p);
int mid=(l+r)>>1;
traversals(ls,l,mid);
traversals(rs,mid+1,r);
}
}Tree;
struct S2{
int dis[N+10];
S2(){memset(dis,63,sizeof(dis));}
}Frw,Bck;
void join(int x,int y,int z){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y,val[tot]=z;}
void insert(int x,int y,int z){join(x,y,z),join(y,x,z);}
void dijkstra(int x,int *dis){
memset(vis,0,sizeof(vis));
Heap.insert(x,dis[x]=0);
while (Heap.tot){
int Now=Heap.Q[1].x;
Heap.Delete();
if (vis[Now]) continue;
vis[Now]=1;
for (int p=now[Now],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
if (dis[son]>dis[Now]+val[p]){
dis[son]=dis[Now]+val[p];
Heap.insert(son,dis[son]);
}
}
}
}
void Find_way(int x){
In_way[x]=1;
dfn[x]=num++;
for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
if (Frw.dis[x]+val[p]+Bck.dis[son]==Dis){
flag[p]=flag[p+(p&1?1:-1)]=1;
Find_way(son);
return;
}
}
}
void bfs(S2 T,int *A){
int head=1,tail=0;
for (int i=1;i<=n;i++) if (In_way[i]) A[h[++tail]=i]=dfn[i];
for (;head<=tail;head++){
int Now=h[head];
for (int p=now[Now],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
if (!In_way[son]&&!A[son]&&T.dis[Now]+val[p]==T.dis[son]){
h[++tail]=son;
A[son]=A[Now];
}
}
}
}
int main(){
n=read(),m=read();
for (int i=1;i<=m;i++){
int x=read(),y=read(),z=read();
insert(x,y,z);
}
dijkstra(1,Frw.dis);
dijkstra(n,Bck.dis);
Dis=Frw.dis[n];
Find_way(1),num--;
bfs(Frw,L),bfs(Bck,R);
for (int x=1;x<=n;x++)
for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p])
if (!flag[p]&&~L[x]&&~R[son]&&L[x]<R[son])
Tree.Modify(1,1,num,L[x]+1,R[son],Frw.dis[x]+val[p]+Bck.dis[son]);
Tree.traversals(1,1,num);
printf("%d %d\n",Max,Max==Dis?m:Ans);
return 0;
}
