[BZOJ4903/CTSC2017]吉夫特

Description
简单的题目，既是礼物，也是毒药。
B 君设计了一道简单的题目，准备作为 \(gift\) 送给大家。
输入一个长度为 \(n\) 的数列\(a_1,a_2,…,a_n\)
问有多少个长度大于等于 2 的不上升的子序列 \(a_{b_1},a_{b_2},…,a_{b_k}\) 满足

\[\prod_{i = 2}^k \binom{a_{b_{i-1}}}{a_{b_i}} \% 2= \binom{a_{b_1}}{a_{b_2}} \times \binom{a_{b_2}}{a_{b_3}} \times \cdots \times \binom{a_{b_{k-1}}}{a_{b_k}} \% 2 > 0$$输出这个个数对 1000000007 取模的结果。 G 君看到题目后，为大家解释了一些基本概念。 我们选择任意多个整数 $b_i$ 满足$$1\leqslant b_1<b_2<⋯<b_k−1<b_k\leqslant n$$我们称 $a_{b_1},a_{b_2},…,a_{b_k}$ 是 a 的一个子序列。 如果这个子序列同时还满足$$a_{b_1}\geqslant a_{b_2}\geqslant ⋯\geqslant a_{b_{k−1}}\geqslant a_{b_k}$$我们称这个子序列是不上升的。 组合数 $\binom{n}{m}$ 是从 $n$ 个互不相同的元素中取 $m$ 个元素的方案数，具体计算方法如下：$$\binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{n \times (n - 1) \times \cdots \times 2 \times 1}{(m \times (m - 1) \times \cdots \times 2 \times 1)((n-m) \times (n-m - 1) \times \cdots \times 2 \times 1)}\]

这里要特别注意，因为我们只考虑不上升子序列，所以在求组合数的过程中，一定满足 \(n\geqslant m\)，也就是 \(\binom{a_{b_i}−1}{a_{b_i}}\) 中一定有 \(a_{b_i}−1\geqslant a_{b_i}\)。
我们在这里强调取模 \(x\%y\) 的定义：

\[x \% y = x - \left \lfloor \frac{x}{y} \right \rfloor \times y \]

其中 \(\lfloor n\rfloor\) 表示小于等于 \(n\) 的最大整数。
\(x\%2>0\)，就是在说 \(x\) 是奇数。
与此同时，经验告诉我们一个长度为 \(n\) 的序列，子序列个数有 \(O(2n)\) 个，所以我们通过对答案取模来避免输出过大。
B 君觉得 G 君说的十分有道理，于是再次强调了这些基本概念。
最后，G 君听说这个题是作为 \(gift\) 送给大家，她有一句忠告。
"Vorsicht, Gift!"
“小心……剧毒！”

Input
第一行一个整数 \(n\) 。
接下来 \(n\) 行，每行一个整数，这 \(n\) 行中的第 \(i\) 行，表示\(a_i\)。

Output
一行一个整数表示答案。

Sample Input
4
15
7
3
1

Sample Output
11

HINT

• 对于前 10% 的测试点，\(n\leqslant 9,1\leqslant a_i\leqslant 13\)；
• 对于前 20% 的测试点，\(n\leqslant 17,1\leqslant a_i\leqslant 20\)；
• 对于前 40% 的测试点，\(n\leqslant 1911,1\leqslant ai\leqslant 4000\)；
• 对于前 70% 的测试点，\(n\leqslant 2017\)；
• 对于前 85% 的测试点，\(n\leqslant 100084\)；
• 对于 100% 的测试点， \(1\leqslant n\leqslant 211985,1\leqslant a_i\leqslant 233333\)。所有的\(a_i\)互不相同，也就是说不存在\(i,j\)同时满足\(1\leqslant i<j\leqslant n\)和\(a_i=a_j\)。

---

题目说了\(\%2\)，那不就是要=1就好了。然后组合数\(\binom{m}{n}\%2\)，嗯，Lucas定理啊。。。然后这不就只剩4种情况了？\(\binom{0}{0}=1,\binom{1}{0}=1,\binom{0}{1}=1,\binom{1}{1}=1\)，就一个等于0，肯定就它不能出现对吧？那就是不能存在\(a_{b_i}\)为偶，\(a_{b_{i+1}}\)为奇的情况。但其实，这个性质没啥作用。。。
我们换个方向考虑，从Lucas定理的角度考虑，我们知道Lucas定理是：\(\binom{m}{n}\%2=\binom{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor}{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\%2\times\binom{m\%2}{n\%2}\)，然后这个是不是很熟悉？二进制分解！如果说存在某一位\(m\)为1，\(n\)不为1，那么，答案就为0了。所以，答案不为0的情况，当且仅当\(n\&m=m\)，答案为1。所以我们可以直接枚举一个集合的超集转移过来，或者枚举一个集合的子集，转移过去。

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')    f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x>=10)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=211985,M=233333,p=1e9+7;
int f[M+10],val[N+10];
bool vis[M+10];
int main(){
	int n=read(),Ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)	f[val[i]=read()]=1;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		int sta=val[i];
		for (int s=(sta-1)&sta;s;s=(s-1)&sta){
			if (vis[s])	continue;
			f[s]=(f[s]+f[sta])%p;
		}
		vis[sta]=1;
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)	Ans=(Ans+f[val[i]])%p;
	printf("%d\n",(Ans-n+p)%p);
	return 0;
}