[HNOI2008]Card洗牌
Description
小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有3种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问Sun有多少种染色方案,Sun很快就给出了答案.进一步,小春要求染出Sr张红色,Sb张蓝色,Sg张绝色.他又询问有多少种方案,Sun想了一下,又给出了正确答案.
最后小春发明了M种不同的洗牌法,这里他又问Sun有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种.Sun发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以P的余数(P为质数).
Input
第一行输入 5 个整数：Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1< p < 100)。n=Sr+Sb+Sg。
接下来 m 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用空格隔开的整数 X1X2...Xn，恰为 1 到 n 的一个排列，表示使用这种洗牌法，第 i位变为原来的 Xi位的牌。
输入数据保证任意多次洗牌都可用这m种洗牌法中的一种代替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。
Max{Sr,Sb,Sg}<=20。
Output
不同染法除以P的余数
Sample Input
1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2
Sample Output
2
HINT
有2 种本质上不同的染色法RGB 和RBG，使用洗牌法231 一次可得GBR 和BGR，使用洗牌法312 一次 可得BRG和GRB
这题其实是一道polya裸题，只要我们注意到题目中的一句话：
“输入数据保证任意多次洗牌都可用这m种洗牌法中的一种代替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。”
也就是说，题目给的洗牌方法就已经构成了一个置换群，那么我们可以求出总方案数
由于置换总数为m+1，所以我们还需要除上一个m+1
那么，如果本题没有那句话该怎么办呢？
那么我们就要用到dp
假设循环内点有v个，我们把每一个循环当做一个体积为v的物品放入状态背包，并且要求最终状态为\(\{Sr,Sb,Sg\}\)
那么我们不难得到动归方程:
\(f[i][j][k]=\sum\{f[i-v][j][k]+f[i][j-v][k]+f[i][j][k-v]\};\)
那么我们就得到了满足条件的不动点个数\(f[Sr][Sb][Sg]\)
逆元的话，随意弄下就行了
（简单版本）
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x>=10) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=2e2;
int num[N+10];
void work(int x,int k){
for (int i=2;i*i<=x;i++) while (x%i==0) x/=i,num[i]+=k;
if (x!=1) num[x]+=k;
}
int main(){
int R=read(),B=read(),G=read(),m=read(),p=read(),n=R+B+G,Ans=1;
for (int i=1;i<=n;i++) work(i,1);
for (int i=1;i<=R;i++) work(i,-1);
for (int i=1;i<=B;i++) work(i,-1);
for (int i=1;i<=G;i++) work(i,-1);
work(m+1,-1);
for (int i=2;i<=N;i++) for (int j=1;j<=num[i];j++) Ans=(Ans*i)%p;
printf("%d\n",Ans);
return 0;
}
dp版本
/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=getchar();
for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar()) if (ch=='-') f=-1;
for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
return x*f;
}
inline void print(int x){
if (x>=10) print(x/10);
putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e2;
int f[25][25][25];
int go[N+10],size[N+10];
bool vis[N+10];
int R,B,G,n,m,p,Ans,tot;
int mlt(int a,int b){
int res=1;
for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%p) if (b&1) res=1ll*res*a%p;
return res;
}
int dp(){
memset(f,0,sizeof(f));
f[0][0][0]=1;
for (int t=1;t<=tot;t++)
for (int i=R;~i;i--)
for (int j=B;~j;j--)
for (int k=G;~k;k--){
if (i>=size[t]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-size[t]][j][k])%p;
if (j>=size[t]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j-size[t]][k])%p;
if (k>=size[t]) f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i][j][k-size[t]])%p;
}
return f[R][B][G];
}
int main(){
R=read(),B=read(),G=read(),n=R+B+G,m=read(),p=read();
for (int i=1;i<=m;i++){
tot=0;
for (int j=1;j<=n;j++) go[j]=read(),vis[j]=0;
for (int j=1;j<=n;j++){
if (vis[j]) continue;
vis[j]=1,size[++tot]=1;
int k=go[j];
while (!vis[k]){
size[tot]++;
vis[k]=1;
k=go[k];
}
}
Ans=(Ans+dp())%p;
}
tot=n;
for (int i=1;i<=n;i++) size[i]=1;
Ans=(Ans+dp())%p;
Ans=1ll*Ans*mlt(m+1,p-2)%p;
printf("%d\n",Ans);
return 0;
}
