[HAOI2012]高速公路

Description

Y901高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。Y901高速公路是一条由N-1段路以及N个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为1~N，从收费站i行驶到i+1(或从i+1行驶到i)需要收取Vi的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。无聊的小A同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的l,r(l < r),在第l个到第r个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站a和b，那么从a行驶到b将期望花费多少费用呢?

Input

第一行2个正整数N,M，表示有N个收费站，M次调整或询问
接下来M行，每行将出现以下两种形式中的一种
C l r v 表示将第l个收费站到第r个收费站之间的所有道路的通行费全部增加v
Q l r 表示对于给定的l,r，要求回答小A的问题
所有C与Q操作中保证1<=l < r<=N
N<=100000 M<=100000
所有C操作中的v的绝对值不超过10000
在任何时刻任意道路的费用均为不超过10000的非负整数

Output

对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数a，输出a/1

Sample Input
4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4

Sample Output
1/1
8/3
17/6

---

完全考数学能力啊！

设\(i\)到\(i+1\)的一段是第\(i\)段，如果询问是\(l\)~\(r\)的话，第\(i\)段对答案的贡献为

\[(i−l+1)∗(r−i)∗v[i] \]

\[=v[i]∗(r−l∗r)+v[i]∗i∗(l+r−1)−v[i]∗i^2 \]

所以，用线段数大力维护\(v[i]\)、\(v[i]*i\)、\(v[i]*i^2\)即可

但是

\[\sum_{i=1}^n i^2=? \]

已知 \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)

\(1^3=(0+1)^3=0^3+3*0^2*1+3*0*1^2+1^3=1\)

\(2^3=(1+1)^3=1^3+3*1^2*1+3*1*1^2+1^3=8\)

\(3^3=(2+1)^3=2^3+3*2^2*1+3*2*1^2+1^3=27\)

\(4^3=(3+1)^3=3^3+3*3^2*1+3*3*1^2+1^3=64\)

\(......\)

\(n^3=(n-1+1)^3=(n-1)^3+3*(n-1)^2*1+3*(n-1)*1^2+1^3\)

\((n+1)^3=n^3+3*n^2*1+3*n*1^2+1^3\)

将上面\(n+1\)个式子累加得

\[(n+1)^3=3*\sum_{i=1}^n i^2+3*\sum_{i=1}^n i+n+1 \]

所以

\[\sum_{i=1}^n i^2=(n+1)^3-3*\sum_{i=1}^n i -n-1 \]

再因式分解一下，得

\[\sum_{i=1}^n i^2=\dfrac {n(n+1)(2n+1)}{6} \]

至此，本题就解决了，接下来就是裸的线段树了

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())    if (ch=='-')    f=-1;
    for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())  x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
    return x*f;
}
inline void print(int x){
    if (x>=10)     print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5;
struct Segment{
    #define ls (p<<1)
    #define rs (p<<1|1)
    struct AC{ll val[3];}tree[N*4+10];
    ll Lazy[N*4+10];
    ll get(int l,int r){return 1ll*r*(r+1)*(2*r+1)/6-1ll*(l-1)*l*(2*l-1)/6;}//取出这段区间的平方和
    void add_tag(int p,int l,int r,ll v){//没什么好说的更新
        int len=r-l+1;
        tree[p].val[0]+=1ll*len*v;
        tree[p].val[1]+=1ll*(l+r)*len/2*v;
        tree[p].val[2]+=1ll*get(l,r)*v;
        Lazy[p]+=v;
    }
    void pushdown(int p,int l,int r){
        if (!Lazy[p])   return;
        int mid=(l+r)>>1;
        add_tag(ls,l,mid,Lazy[p]);
        add_tag(rs,mid+1,r,Lazy[p]);
        Lazy[p]=0;
    }
    void updata(int p){for (int i=0;i<3;i++) tree[p].val[i]=tree[ls].val[i]+tree[rs].val[i];}
    void change(int p,int l,int r,int x,int y,int z){
        if (x<=l&&r<=y){
            add_tag(p,l,r,z);
            return;
        }
        pushdown(p,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        if (x<=mid)  change(ls,l,mid,x,y,z);
        if (y>mid)   change(rs,mid+1,r,x,y,z);
        updata(p);
    }
    ll query(int p,int l,int r,int x,int y,int t){
        if (x<=l&&r<=y)   return tree[p].val[t];
        pushdown(p,l,r);
        int mid=(l+r)>>1;
        ll ans=0;
        if (x<=mid)  ans+=query(ls,l,mid,x,y,t);
        if (y>mid)   ans+=query(rs,mid+1,r,x,y,t);
        return ans;
    }
}Tree;
ll gcd(ll a,ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main(){
    char s[5];
    ll n=read(),m=read();
    ll ans[3];
    for (int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%s",s+1);
        if (s[1]=='C'){
            ll x=read(),y=read(),z=read();
            Tree.change(1,1,n,x,y-1,z);
        }
        if (s[1]=='Q'){
            ll x=read(),y=read();
            for (int i=0;i<3;i++)    ans[i]=Tree.query(1,1,n,x,y-1,i);
            ll Ans=ans[0]*(y-x*y)+ans[1]*(x+y-1)-ans[2],under=1ll*(y-x+1)*(y-x)/2;
            ll GCD=gcd(Ans,under);
            printf("%lld/%lld\n",Ans/GCD,under/GCD);
        }
    }
    return 0;
}