自然数幂和

首先我们从$n$个整数的平方和开始，也就是求

$$S(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^2$$

我们可以尝试对$S(n)$进行扰动，就有

$$\begin{align}S(n)&=\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^2-(n+1)^2+1\nonumber\\&=\sum\limits_{i=1}^n(i^2+2i+1)-(n+1)^2+1\nonumber\\&=S(n)+2\sum\limits_{i=1}^ni-n(n+1)\nonumber\end{align}$$

然后我们发现扰动失败了，$S(n)$被消掉了，但是我们意外发现了求$\sum\limits_{i=1}^ni$的公式

于是我们猜测一下，是否可以用更高级的幂和$C(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^3$来求出$S(n)$

$$\begin{align}C(n)&=\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^3-(n+1)^3+1\nonumber\\&=\sum\limits_{i=1}^n(i^3+3i^2+3i+1)-(n+1)^3+1\nonumber\\&=C(n)+3S(n)+\dfrac{3n(n+1)}{2}-n(n+1)(n+2)\nonumber\\\Longrightarrow S(n)&=\dfrac{n(n+1)(n+2)-\frac{3n(n+1)}{2}}{3}\nonumber\\&=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\nonumber\end{align}$$

于是这样我们得到了$S(n)$的公式，既然如此，我们可以尝试着计算更高阶的幂和，我们设$S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$，那么有

$$\begin{align}S_k(n)&=\sum\limits_{i=1}^ni^k=\sum\limits_{i=1}^n(i+1)^k-(n+1)^k+1\nonumber\\&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}i^j-(n+1)^k+1\nonumber\\&=\sum\limits_{j=0}^k\binom{k}{j}S_j(n)-(n+1)^k+1\nonumber\end{align}$$

这样就有

$$S_{k-1}(n)=\dfrac{(n+1)^k-\sum\limits_{j=0}^{k-2}\binom{k}{j}S_j(n)-1}{k}$$

或者可以写成

$$S_k(n)=\dfrac{(n+1)^{k+1}-\sum\limits_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}S_j(n)-1}{k+1}$$

那么我们就可以在$O(k^2)$的时间内计算$S_k(n)$了

---

其实我们可以在$O(k)$的时间内求出$S_k(n)$，具体可见浅谈算法——拉格朗日插值