自然数幂和

首先我们从n个整数的平方和开始,也就是求

S(n)=i=1ni2

我们可以尝试对S(n)进行扰动,就有

S(n)=i=1n(i+1)2(n+1)2+1=i=1n(i2+2i+1)(n+1)2+1=S(n)+2i=1nin(n+1)

然后我们发现扰动失败了,S(n)被消掉了,但是我们意外发现了求i=1ni的公式

于是我们猜测一下,是否可以用更高级的幂和C(n)=i=1ni3来求出S(n)

C(n)=i=1n(i+1)3(n+1)3+1=i=1n(i3+3i2+3i+1)(n+1)3+1=C(n)+3S(n)+3n(n+1)2n(n+1)(n+2)S(n)=n(n+1)(n+2)3n(n+1)23=n(n+1)(2n+1)6

于是这样我们得到了S(n)的公式,既然如此,我们可以尝试着计算更高阶的幂和,我们设Sk(n)=i=1nik,那么有

Sk(n)=i=1nik=i=1n(i+1)k(n+1)k+1=i=1nj=0k(kj)ij(n+1)k+1=j=0k(kj)Sj(n)(n+1)k+1

这样就有

Sk1(n)=(n+1)kj=0k2(kj)Sj(n)1k

或者可以写成

Sk(n)=(n+1)k+1j=0k1(k+1j)Sj(n)1k+1

那么我们就可以在O(k2)的时间内计算Sk(n)


其实我们可以在O(k)的时间内求出Sk(n),具体可见浅谈算法——拉格朗日插值

posted @   Wolfycz  阅读(1570)  评论(5编辑  收藏  举报
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