[SDOI2015]约数个数和

Description
设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^md(ij)\)

Input
输入文件包含多组测试数据。
第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。
接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output
T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input
2
7 4
5 6

Sample Output
110
121

HINT
\(1\leqslant N, M\leqslant50000\)
\(1\leqslant T\leqslant50000\)

---

\(d\)太丑了，我之后都写成\(\sigma_0\)了

首先你需要知道\(\sigma_0(nm)=\sum\limits_{i|n}\sum\limits_{j|m}[\gcd(i,j)=1]\)

（我就是不知道这个推了1h无果）

然后我们证明一下这个东西（我只能证明等式左右两边相等）

令\(n=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{a_i},m=\prod\limits_{i=1}^kp_i^{b_i}\)，\(a_i,b_i\)可以为0

然后有\(\sigma_0(nm)=\prod\limits_{i=1}^k(a_i+b_i+1)\)，我们考虑某个质因子\(p_i\)对答案的贡献， \(p_i\)要么在\(n\)中有\(a_i\)中取法，要么在\(m\)中有\(b_i\)种取法，要么不取有一种方法，所以共计\(a_i+b_i+1\)中取法，再乘法原理累乘一下即为\(\sigma_0(n,m)\)

然后我们来推式子

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{u|i}\sum\limits_{v|j}[\gcd(u,v)=1] \]

我们调整一下枚举顺序

\[\sum\limits_{u=1}^n\sum\limits_{v=1}^m\lfloor\dfrac{n}{u}\rfloor\lfloor\dfrac{m}{v}\rfloor[\gcd(u,v)=1] \]

\(u,v\)太丑啦，我们改一下变量名，并且对最后用面的式子反演一下

\[\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\lfloor\dfrac{m}{j}\rfloor\sum\limits_{x|i,x|j}\mu(x) \]

我们把枚举\(x\)提到前面，并且进行分组，得到

\[\sum\limits_{x=1}^n\mu(x)\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{x}\rfloor}\lfloor\dfrac{n}{ix}\rfloor\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{x}\rfloor}\lfloor\dfrac{m}{jx}\rfloor \]

如果我们能够求出\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\)，我们就可以对原式进行数论分块了

然后我们参考一下[AHOI2005]约数研究这题，可以发现\(\sum\limits_{i=1}^n\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor=\sum\limits_{i=1}^n\sigma_0(i)\)，因为\(\lfloor\dfrac{n}{i}\rfloor\)相当于统计\(1\sim n\)中有多少个数的因数有\(i\)

\(\sigma_0(n)\)显然是个积性函数，因此我们可以线筛求出前缀和，然后对原式进行数论分块即可

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1; char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1; char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)	putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=5e4;
int prime[N+10],mu[N+10],smu[N+10],f[N+10],Frm[N+10];
ll sf[N+10];
bool inprime[N+10];
void prepare(){
	int tot=0;
	mu[1]=f[1]=smu[1]=sf[1]=1;
	for (int i=2;i<=N;i++){
		if (!inprime[i])	prime[++tot]=i,mu[i]=-1,f[i]=Frm[i]=2;
		for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=N;j++){
			inprime[i*prime[j]]=1;
			if (i%prime[j]==0){
				mu[i*prime[j]]=0;
				Frm[i*prime[j]]=Frm[i]+1;
				f[i*prime[j]]=f[i]/Frm[i]*Frm[i*prime[j]];
				break;
			}
			mu[i*prime[j]]=-mu[i];
			Frm[i*prime[j]]=2;
			f[i*prime[j]]=f[i]<<1;
		}
		sf[i]=sf[i-1]+f[i];
		smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
	}
}
int main(){
	prepare();
	for (int T=read();T;T--){
		int n=read(),m=read(); ll Ans=0;
		if (n>m)	swap(n,m);
		for (int i=1,pos;i<=n;i=pos+1){
			pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
			Ans+=(smu[pos]-smu[i-1])*sf[n/i]*sf[m/i];
		}
		printf("%lld\n",Ans);
	}
	return 0;
}