[BZOJ3772]精神污染

Description
兵库县位于日本列岛的中央位置，北临日本海，南面濑户内海直通太平洋，中央部位是森林和山地，与拥有关西机场的大阪府比邻而居，是关西地区面积最大的县，是集经济和文化于一体的一大地区，是日本西部门户，海陆空交通设施发达。濑户内海沿岸气候温暖，多晴天，有日本少见的贸易良港神户港所在的神户市和曾是豪族城邑“城下町”的姬路市等大城市，还有以疗养地而闻名的六甲山地等。
兵库县官方也大力发展旅游，为了方便，他们在县内的N个旅游景点上建立了n-1条观光道，构成了一棵图论中的树。同时他们推出了M条观光线路，每条线路由两个节点x和y指定，经过的旅游景点就是树上x到y的唯一路径上的点。保证一条路径只出现一次。
你和你的朋友打算前往兵库县旅游，但旅行社还没有告知你们最终选择的观光线路是哪一条（假设是线路A）。这时候你得到了一个消息：在兵库北有一群丧心病狂的香菜蜜，他们已经选定了一条观光线路（假设是线路B），对这条路线上的所有景点都释放了【精神污染】。这个计划还有可能影响其他的线路，比如有四个景点1-2-3-4，而【精神污染】的路径是1-4，那么1-3,2-4,1-2等路径也被视为被完全污染了。
现在你想知道的是，假设随便选择两条不同的路径A和B，存在一条路径使得如果这条路径被污染，另一条路径也被污染的概率。换句话说，一条路径被另一条路径包含的概率。

Input
第一行两个整数N,M
接下来N-1行，每行两个数a,b，表示A和B之间有一条观光道。
接下来M行，每行两个数x,y，表示一条旅游线路。

Output
所求的概率，以最简分数形式输出。

Sample Input
5 3
1 2
2 3
3 4
2 5
3 5
2 5
1 4

Sample Output
1/3

HINT
100%的数据满足：N,M<=100000

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题目里一堆废话。。。除了最后一句。。。其实这题叫做“精神错乱”，写的我真的精神错乱了。。。

废话不多说，我们进入正题

首先考虑一条路径(u,v)，其存在两种情况
1.lca是其中的某个点
2.lca不是其中的某个点

对于第一种情况，我们令lca=u，那么能够覆盖其的路径的左右端点(l,r)，在dfs序上必定满足

\(\begin{cases}1&\leqslant l'&<x'\\v'&\leqslant r'&<v'+size[v]\end{cases}\)或\(\begin{cases}x'+size[x]&<l'&\leqslant n\\v'&\leqslant r'&<v'+size[v]\end{cases}\)

其中，\(l',r',x'\)表示l,r,x的dfs序，size表示其子树大小，x表示v到u的路径上，u的儿子节点

对于第二种情况，令u的dfs序小于v的dfs序，能覆盖其的路径的左右端点(l,r)，在dfs序上也必定满足

\[\begin{cases}u'\leqslant l'<u'+size[u]\\v'\leqslant r'<v'+size[v]\end{cases} \]

因此我们可以按照dfs序的顺序建立主席树，每棵主席树上记录与它直接相连的点的dfs序，然后就可以直接区间查询了

(ps:MD这题卡空间。。。)

/*program from Wolfycz*/
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define Fi first
#define Se second
#define inf 0x7f7f7f7f
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned int ui;
typedef unsigned long long ull;
inline char gc(){
	static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;
	return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int frd(){
	int x=0,f=1;char ch=gc();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=gc())	if (ch=='-')    f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=gc())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline int read(){
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for (;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())	if (ch=='-')	f=-1;
	for (;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())	x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';
	return x*f;
}
inline void print(int x){
	if (x<0)    putchar('-'),x=-x;
	if (x>9)	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1e5,M=4e6;
int dfn[N+10],root[N+10],n,m;
vector<int>vec[N+10];
struct S1{
	int pre[(N<<1)+10],now[N+10],child[(N<<1)+10],tot,Time;
	int fa[N+10],top[N+10],Rem[N+10],size[N+10],deep[N+10];
	void join(int x,int y){pre[++tot]=now[x],now[x]=tot,child[tot]=y;}
	void insert(int x,int y){join(x,y),join(y,x);}
	void dfs(int x){
		deep[x]=deep[fa[x]]+1,size[x]=1;
		for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
			if (son==fa[x])	continue;
			fa[son]=x,dfs(son);
			size[x]+=size[son];
			if (size[Rem[x]]<size[son])	Rem[x]=son;
		}
	}
	void build(int x){
		if (!x)	return;
		top[x]=Rem[fa[x]]==x?top[fa[x]]:x;
		dfn[x]=++Time;
		build(Rem[x]);
		for (int p=now[x],son=child[p];p;p=pre[p],son=child[p]){
			if (son==fa[x]||son==Rem[x])	continue;
			build(son);
		}
	}
	pair<int,int> Lca(int x,int y){
		int last=0;
		while (top[x]!=top[y]){
			if (deep[top[x]]<deep[top[y]])	swap(x,y);
			last=top[x],x=fa[top[x]];
		}
		if (x==y)	return make_pair(x,last);
		if (deep[x]>deep[y])	swap(x,y);
		return make_pair(x,Rem[x]);
	}
}HLD;//Heavy Light Decomposition
struct S2{
	int ls[M+10],rs[M+10],cnt[M+10],tot;
	void insert(int &k,int p,int l,int r,int x){
		cnt[k=++tot]=cnt[p]+1;
		ls[k]=ls[p],rs[k]=rs[p];
		if (l==r)	return;
		int mid=(l+r)>>1;
		if (x<=mid)	insert(ls[k],ls[p],l,mid,x);
		else	insert(rs[k],rs[p],mid+1,r,x);
	}
	int Query(int k,int p,int l,int r,int x){
		if (l==r)	return cnt[p]-cnt[k];
		int mid=(l+r)>>1,res=cnt[ls[p]]-cnt[ls[k]];
		if (x<=mid)	return Query(ls[k],ls[p],l,mid,x);
		else	return res+Query(rs[k],rs[p],mid+1,r,x);
	}
	int Query(int rl,int rr,int l,int r){return Query(root[rl-1],root[rr],1,n,r)-Query(root[rl-1],root[rr],1,n,l-1);}
}CT;//Chairman Tree
struct S3{
	int x,y;
	void insert(int _x,int _y){x=_x,y=_y;}
}Ask[N+10];
ll gcd(ll a,ll b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
signed main(){
	n=read(),m=read();
	for (int i=1;i<n;i++){
		int x=read(),y=read();
		HLD.insert(x,y);
	}
	HLD.dfs(1),HLD.build(1);
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read();
		vec[dfn[x]].push_back(dfn[y]);
		vec[dfn[y]].push_back(dfn[x]);
		Ask[i].insert(x,y);
	}
	for (int i=1;i<=n;i++){
		root[i]=root[i-1];
		for (vector<int>::iterator it=vec[i].begin();it!=vec[i].end();it++)	CT.insert(root[i],root[i],1,n,*it);
	}
	ll All=1ll*m*(m-1)/2,Ans=0;
	for (int i=1;i<=m;i++){
		int x=Ask[i].x,y=Ask[i].y;
		pair<int,int>tmp=HLD.Lca(x,y);
		if (dfn[x]>dfn[y])	swap(x,y);
		if (tmp.Fi==x){
			Ans+=CT.Query(1,dfn[tmp.Se]-1,dfn[y],dfn[y]+HLD.size[y]-1);
			Ans+=CT.Query(dfn[tmp.Se]+HLD.size[tmp.Se],n,dfn[y],dfn[y]+HLD.size[y]-1);
		}else	Ans+=CT.Query(dfn[x],dfn[x]+HLD.size[x]-1,dfn[y],dfn[y]+HLD.size[y]-1);
	}
	Ans-=m; ll GCD=gcd(All,Ans);
	printf("%lld/%lld\n",Ans/GCD,All/GCD);
	return 0;
}