若\(M\)为正交矩阵，则
- \(MM^T=I\)（行向量两两正交）\(M^TM=I\)（列向量两两正交）
- \(M^{-1}=M^T\)
- \(\lvert M \rvert=1\)或\(\lvert M\rvert=-1\)
- \(\lvert M\rvert=1\)时，\(M\)为旋转矩阵。
- \(\lvert M\rvert=-1\)时，\(M\)为镜像矩阵。
- 若\(N\)也是正交矩阵，则\(MN\)也是正交矩阵。
- \(M\)的列向量（或行向量）构成了一个标准正交基[1]，即这些向量两两正交且单位化。
- 线性变换\(y=Mx\)称为正交变换，其拥有性质：
\(\lVert y\rVert=\sqrt{y^Ty}=\sqrt{x^TM^TMX}=\sqrt{x^Tx}=\lVert x\rVert\)
即正交变换后向量长度保持不变。
\(M\)正交时\(MM^T=I\)，即
\(\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13}\\ m_{21} & m_{22} & m_{23}\\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} m_{11} & m_{21} & m_{31}\\ m_{12} & m_{22} & m_{32}\\ m_{13} & m_{23} & m_{33} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
设\(r_1\)，\(r_2\)，\(r_3\)为\(M\)的行，则有
\(\begin{matrix} r_1\cdot r_1=1 & r_1\cdot r_2=0 & r_1\cdot r_3=0\\ r_2\cdot r_1=0 & r_2\cdot r_2=1 & r_2\cdot r_3=0\\ r_3\cdot r_1=0 & r_3\cdot r_2=0 & r_3\cdot r_3=1 \end{matrix}\)
可以得到：
- 仅当\(r_1\)，\(r_2\)，\(r_3\)为单位向量时，\(r_1\cdot r_1=1\)，\(r_2\cdot r_2=1\)，\(r_3\cdot r_3=1\)才能成立（当且仅当一个向量是单位向量时，它与它自身的点积结果是1）。
- 仅当\(r_1\)，\(r_2\)，\(r_3\)互相垂直时，其他等式才能成立（当且仅当两个向量互相垂直时，它们的点积为零）
所以，若一个矩阵是正交的：
- 矩阵的每一行都是单位向量。
- 矩阵的所有行互相垂直。
以上结论对正交矩阵的列向量依然成立。
如果一组向量互相垂直，这组向量就被认为是正交基（orthogonal basis），正交基并不要求所有向量都是单位向量，如果它们都是单位向量，则称它们为标准正交基（orthonormal basis）。 ↩︎
