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M为正交矩阵,则

  • MMT=I(行向量两两正交)MTM=I(列向量两两正交)
  • M1=MT
  • |M|=1|M|=1
  • |M|=1时,M为旋转矩阵。
  • |M|=1时,M为镜像矩阵。
  • N也是正交矩阵,则MN也是正交矩阵。
  • M的列向量(或行向量)构成了一个标准正交基,即这些向量两两正交且单位化。
  • 线性变换y=Mx称为正交变换,其拥有性质:
    y=yTy=xTMTMX=xTx=x
    即正交变换后向量长度保持不变。

M正交时MMT=I,即

[m11m12m13m21m22m23m31m32m33][m11m21m31m12m22m32m13m23m33]=[100010001]

r1r2r3M的行,则有

r1r1=1r1r2=0r1r3=0r2r1=0r2r2=1r2r3=0r3r1=0r3r2=0r3r3=1

可以得到:

  • 仅当r1r2r3为单位向量时,r1r1=1r2r2=1r3r3=1才能成立(当且仅当一个向量是单位向量时,它与它自身的点积结果是1)。
  • 仅当r1r2r3互相垂直时,其他等式才能成立(当且仅当两个向量互相垂直时,它们的点积为零)

所以,若一个矩阵是正交的:

  • 矩阵的每一行都是单位向量。
  • 矩阵的所有行互相垂直。

以上结论对正交矩阵的列向量依然成立。


  1. 如果一组向量互相垂直,这组向量就被认为是正交基(orthogonal basis),正交基并不要求所有向量都是单位向量,如果它们都是单位向量,则称它们为标准正交基(orthonormal basis)。 ↩︎

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