正交矩阵

合集 - 数学(9)

1.欧拉公式2024-09-012.正弦定理和余弦定理2024-09-013.点积2024-09-014.向量投影2024-09-025.是坐标转换，也是旋转——矩阵变换2024-09-056.立体角2024-09-097.半球积分2024-09-198.向量正交2024-10-24

9.正交矩阵2024-10-24

收起

若$M$为正交矩阵，则

• $M{M}^T=I$（行向量两两正交）$M^{T}M=I$（列向量两两正交）
• $M^{-1}=M^T$
• $|M|=1$或$|M|=-1$
• $|M|=1$时，$M$为旋转矩阵。
• $|M|=-1$时，$M$为镜像矩阵。
• 若$N$也是正交矩阵，则$MN$也是正交矩阵。
• $M$的列向量（或行向量）构成了一个标准正交基^[1]，即这些向量两两正交且单位化。
• 线性变换$y=Mx$称为正交变换，其拥有性质：
  $\Vert y\Vert =\sqrt{y^{T}y}=\sqrt{x^T{M}^{T}MX}=\sqrt{x^{T}x}=\Vert x\Vert$
  即正交变换后向量长度保持不变。

$M$正交时$M{M}^T=I$，即

$\left[\begin{array}{ccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{m}_{11}& m_{21}& m_{31}\\ m_{12}& m_{22}& m_{32}\\ m_{13}& m_{23}& m_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

设$r_1$，$r_2$，$r_3$为$M$的行，则有

$\begin{array}{ccc}{r}_1\cdot r_1=1& r_1\cdot r_2=0& r_1\cdot r_3=0\\ r_2\cdot r_1=0& r_2\cdot r_2=1& r_2\cdot r_3=0\\ r_3\cdot r_1=0& r_3\cdot r_2=0& r_3\cdot r_3=1\end{array}$

可以得到：

• 仅当$r_1$，$r_2$，$r_3$为单位向量时，$r_1\cdot r_1=1$，$r_2\cdot r_2=1$，$r_3\cdot r_3=1$才能成立（当且仅当一个向量是单位向量时，它与它自身的点积结果是1）。
• 仅当$r_1$，$r_2$，$r_3$互相垂直时，其他等式才能成立（当且仅当两个向量互相垂直时，它们的点积为零）

所以，若一个矩阵是正交的：

• 矩阵的每一行都是单位向量。
• 矩阵的所有行互相垂直。

以上结论对正交矩阵的列向量依然成立。

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1. 如果一组向量互相垂直，这组向量就被认为是正交基（orthogonal basis），正交基并不要求所有向量都是单位向量，如果它们都是单位向量，则称它们为标准正交基（orthonormal basis）。 ↩︎