若
(行向量两两正交) (列向量两两正交) 或 时, 为旋转矩阵。 时, 为镜像矩阵。- 若
也是正交矩阵,则 也是正交矩阵。 的列向量(或行向量)构成了一个标准正交基[1],即这些向量两两正交且单位化。- 线性变换
称为正交变换,其拥有性质:
即正交变换后向量长度保持不变。
设
可以得到:
- 仅当
, , 为单位向量时, , , 才能成立(当且仅当一个向量是单位向量时,它与它自身的点积结果是1)。 - 仅当
, , 互相垂直时,其他等式才能成立(当且仅当两个向量互相垂直时,它们的点积为零)
所以,若一个矩阵是正交的:
- 矩阵的每一行都是单位向量。
- 矩阵的所有行互相垂直。
以上结论对正交矩阵的列向量依然成立。
如果一组向量互相垂直,这组向量就被认为是正交基(orthogonal basis),正交基并不要求所有向量都是单位向量,如果它们都是单位向量,则称它们为标准正交基(orthonormal basis)。 ↩︎
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