半球积分

合集 - 数学(9)

1.欧拉公式2024-09-012.正弦定理和余弦定理2024-09-013.点积2024-09-014.向量投影2024-09-025.是坐标转换，也是旋转——矩阵变换2024-09-056.立体角2024-09-09

7.半球积分2024-09-19

8.向量正交2024-10-249.正交矩阵2024-10-24

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极坐标系

定义

以极点$O$引一条射线做极轴$Ox$，选定长度单位、角度单位（一般为弧度）及正方向（一般为逆时针），$|OP|$为点$P$的极径，记为$r$，角$xOP$为点$P$的极角，记为$\theta$，有序对$(r,\theta )$叫做点$P$的极坐标，记为$P(r,\theta )$。

极坐标与直角坐标的转换

极坐标转换至直角坐标：

$x=r\cos (\theta )$（相当于$r$朝$x$轴投影）

$y=r\sin (\theta )$（相当于$r$朝$y$轴投影）

直角坐标转换至极坐标：

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

$\tan (\theta )=\frac{y}{x}(x\ne 0)$

球坐标系

定义

$|OP|$为点$P$到原点的距离，记为$r$，$OP$与$Z$轴构成的夹角为点$P$的极角，记为$\theta$，$OP$在$XY$平面的投影与$X$轴构成的夹角为点$P$的方位角，记为$\phi$，有序对$(r,\theta ,\phi )$叫做点$P$的球坐标，记为$P(r,\theta ,\phi )$，球坐标可视为极坐标的三维推广。

球坐标与直角坐标的转换：

球坐标转换至直角坐标：

$x=r\sin (\theta )\cos (\phi )$（相当于$r$先朝$xy$平面投影再朝$x$轴投影）

$y=r\sin (\theta )sin(\phi )$（相当于$r$先朝$xy$平面投影再朝$y$轴投影）

$z=r\cos (\theta )$（相当于$r$朝$z$轴投影）

直角坐标转换至球坐标：

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta =\arccos (\frac{z}{r})=\arcsin \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{r}\right)=\arctan \left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)$

$\phi =\arccos \left(\frac{x}{r\sin (\theta )}\right)=\arcsin \left(\frac{y}{r\sin (\theta )}\right)=\arctan \left(\frac{y}{x}\right)$

计算$\phi$时：

1. 必须依照$(x,y)$所处的象限来计算正确的反正切值。
2. 当$x=0$时，判断$y$的值：

若$y>0$，则$\phi =\frac{\pi }{2}$

若$y<0$，则$\phi =-\frac{\pi }{2}$或$\frac{3\pi }{2}$

若$y=0$，则$\phi$为未定值（因为$\frac{0}{0}$为未定式）。

半球积分

沿方位角$\phi$方向移动的弧对应的半径为$r\sin (\phi )$，对其弧长的微分等于$r\sin \theta d\phi$，沿极角$\theta$方向移动的弧对应的半径为$r$，对其弧长的微分等于$rd\theta$，则球面面积微分$dA=r^2\sin \theta d\theta d\phi$

可得半球积分：

${\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{r}^2\sin \theta d\theta d\phi$