切线空间
法线纹理用来呈现物体表面的凹凸细节，模型顶点自身的法线定义于模型空间（Object Space）中，模型的法线纹理一般存储在模型顶点的切线空间（Tangent Space）中，一般的，顶点本身为切线空间原点，选择顶点法线方向\(n\)为切线空间的正方向\(z\)，法线贴图的\(u\)方向为切线方向\(t\)，法线贴图的\(v\)方向为副切线方向\(b\)。
可以通过三角形顶点的位置和其UV坐标推导出切线方向\(t\)和副切线方向\(b\)，如下图，\(P_i\)为三角形的顶点，\((u_i,v_i)\)为UV坐标，其中
\(du_1=u_1-u_0\)
\(du_2=u_2-u_0\)
\(dv_1=v_1-v_0\)
\(dv_2=v_2-v_0\)
\(Q_1=P_1-P_0\)
\(Q_2=P_2-P_0\)
由此可见：
\(Q_1=du_1t+dv_1b\)
\(Q_2=du_2t+dv_2b\)
将上式写为矩阵形式：
\(\begin{bmatrix} Q{_1}_x&Q{_1}_y&Q{_1}_z\\ Q{_2}_x&Q{_2}_y&Q{_2}_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} du_1&dv_1\\ du_2&dv_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} T_x&T_y&T_z\\ B_x&B_y&B_z \end{bmatrix}\)
对\(\begin{bmatrix} du_1&dv_1\\ du_2&dv_2 \end{bmatrix}\)求逆，可得
\(\begin{bmatrix} T_x&T_y&T_z\\ B_x&B_y&B_z \end{bmatrix}= \frac{1}{du_1dv_2-dv_1du_2} \begin{bmatrix} dv_2&-dv_1\\ -du_2&du_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q{_1}_x&Q{_1}_y&Q{_1}_z\\ Q{_2}_x&Q{_2}_y&Q{_2}_z \end{bmatrix}\)
通过对\(T\)和\(B\)规范化后得到切线方向\(t\)和副切线方向\(b\)。
因为三角面是一个平面，只需要计算一个三角面的切线和副切线即可，它们对于三角形的顶点来说都是一样的，被多个三角面共享的顶点只需要将多个结果平均化即可。
采样计算
存储与采样
纹理颜色\(c\)各分量的范围为\([0,1]\)，而法线向量\(n\)各分量的范围为\([-1,1]\)，故在存储时需要做\(c=\frac{n+1}{2}\)的映射，在纹理采样时做\(n=2c-1\)的映射。
法线非统一缩放问题
在模型变换时，跟顶点相关的信息也需要一并变换，其中包括法线与切线等，由切线空间部分可知顶点的切线通过顶点之间的差值计算得来，根据线性变换的性质，用于顶点变换的矩阵\(M\)（矩阵\(M\)不包含平移）同样可以用于变换切线向量，但如果\(M\)不是正交矩阵，对变换后的空间可能在某些方向上产生“挤压”或“拉伸”，所以无法保证其变换的法线向量与原来的表面垂直。
因为切线向量\(t\)与法线向量\(n\)始终保持平行，所以对于同一个顶点来说满足\(n\cdot t=0\),变换后的\(t'\)和\(n'\)也应满足该等式，假设顶点的变换矩阵为\(M\),法线向量的变换矩阵为\(G\)，则
\(n'\cdot t'=(Gn)\cdot (Mt)=0\)
将\((Gn)\cdot (Mt)\)展开可得
\(\begin{bmatrix} G{_i}_x&G{_j}_x&G{_k}_x\\ G{_i}_y&G{_j}_y&G{_k}_y\\ G{_i}_z&G{_j}_z&G{_k}_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} n_x\\n_y\\n_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} M{_i}_x&M{_j}_x&M{_k}_x\\ M{_i}_y&M{_j}_y&M{_k}_y\\ M{_i}_z&M{_j}_z&M{_k}_z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t_x\\t_y\\t_z \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} n_xG{_i}_x+n_yG{_j}_x+n_zG{_k}_x\\ n_xG{_i}_y+n_yG{_j}_y+n_zG{_k}_y\\ n_xG{_i}_z+n_yG{_j}_z+n_zG{_k}_z \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} t_xM{_i}_x+t_yM{_j}_x+t_zM{_k}_x\\ t_xM{_i}_y+t_yM{_j}_y+t_zM{_k}_y\\ t_xM{_i}_z+t_yM{_j}_z+t_zM{_k}_z \end{bmatrix}\)
由此可见
\((Gn)\cdot (Mt)=(Gn)^T(Mt)=n^TG^TMT\)
由于\(n^Tt=n\cdot t=0\)，如果\(G^TM=I\)，则\(n^TG^TMT=0\)，由此可知\(G=(M^{-1})^T\)。
若\(M\)为正交矩阵，则\(M^{-1}=M^T\),可知\((M^{-1})^T=M\)，此时可避免求逆和转置的操作。
在世界空间中采样计算法线
在顶点着色器中计算世界空间下的法线向量 normalWS 、切线向量 tangentWS 和副切线向量 bitangentWS ，在计算 normalWS 时，变换顶点到世界空间的矩阵\(M_{object\rightarrow world }\)其逆矩阵\(M_{object\rightarrow world }^{-1}\)为 unity_WorldToObject ，使用模型空间的法线向量 normalOS 左乘\(M_{object\rightarrow world }^{-1}\)，相当于右乘其转置矩阵\((M_{object\rightarrow world }^{-1})^T\)。
half3 normalWS = normalize(mul(input.normalOS, (float3x3)unity_WorldToObject));
half3 tangentWS = normalize(mul((float3x3)UNITY_MATRIX_M, input.tangentOS.xyz));
half3 bitangentWS = cross(normalWS, tangentWS) * input.tangentOS.w;
在片元着色器中采样切线空间下的法线向量 normalTS ，由于纹理格式存在差异，使用Shader Lab中内置函数 UnpackNormal() 对存储的法线进行反映射，然后使用顶点着色器传入的切线向量 tangentWS 、副切线向量 bitangentWS 和法线向量构成变换矩阵\(G_{tangent\rightarrow world}\)，也即构成新的坐标空间，这里注意 half3x3(v1,v2,v3) 是以行向量构建矩阵，故将切线空间的法线向量 normalTS 变换至世界空间时，需要使用 normalTS 左乘矩阵\(G_{tangent\rightarrow world}\)。
half3 normalTS = UnpackNormal(tex2D(_NormalMap, input.uv));
half3x3 tangentToWorld = half3x3(input.tangentWS.xyz, input.bitangentWS.xyz, input.normalWS.xyz);
half3 normalWS = mul(normalTS.xyz, tangentToWorld);
Unity中的切线设置
Unity默认使用 MikkTSpace 计算切线，在Model Import Settings中可进行设置。
切线最常用于凹凸贴图着色器中。切线是单位长度的矢量，它顺着网格表面沿水平 (U) 纹理方向。Unity 中的切线表示为 Vector4， 其“x,y,z”分量定义矢量，而 w 用于在需要时翻转副法线。Unity 计算另一个表面矢量（副法线）的方法是获取法线与切线之间的叉积，然后将结果乘以切线的 w。因此，w 应始终为 1 或 -1。
参考
《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》
《Unity Shader入门精要》
