是坐标转换，也是旋转——矩阵变换

合集 - 数学(9)

1.欧拉公式2024-09-012.正弦定理和余弦定理2024-09-013.点积2024-09-014.向量投影2024-09-02

5.是坐标转换，也是旋转——矩阵变换2024-09-05

6.立体角2024-09-097.半球积分2024-09-198.向量正交2024-10-249.正交矩阵2024-10-24

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坐标转换

一个向量可以被表示为$v=xi+yj+zk$，其中$i$，$j$，$k$为坐标系的基向量：

$i=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$，$j=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$，$k=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right]$

基向量可写成矩阵的方式：

$\left[\begin{array}{ccc}{i}_x& i_y& i_z\\ j_x& j_y& j_z\\ k_x& k_y& k_z\end{array}\right]$

一个坐标系可以使用任意线性无关的基向量构成，如$l$，$m$，$n$

使用由$l$，$m$，$n$构成的矩阵乘以一个任意向量$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]$：

$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{l}_x& l_y& l_z\\ m_x& m_y& m_z\\ n_x& n_y& n_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a{l}_x+b{m}_x+c{n}_x& a{l}_y+b{m}_y+c{n}_y& a{l}_z+b{m}_z+c{n}_z\end{array}\right]$

即

$\left[\begin{array}{c}a{l}_x+b{m}_x+c{n}_x\\ a{l}_y+b{m}_y+c{n}_y\\ a{l}_z+b{m}_z+c{n}_z\end{array}\right]=a\left[\begin{array}{c}{l}_x\\ l_y\\ l_z\end{array}\right]+b\left[\begin{array}{c}{m}_x\\ m_y\\ m_z\end{array}\right]+c\left[\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right]=al+bm+cn$

最终得到了由基向量表示的结果，由此可见

如果把矩阵的行解释为坐标系的基向量，那么乘以该矩阵就相当于执行了一次坐标转换，若有$aM=b$，我们就可以说，$M$将$a$转换到$b$。

从另一个角度看，x，y，z分量分别代表了向量在每个基向量方向上分别“走了多少个单位”，变换的只是基向量的方向，而在每个方向上走多远却没有改变。

旋转

使用单位且正交的基向量$x^{\prime }$，$y^{\prime }$，$z^{\prime }$构成新的坐标系，使用基向量构成的矩阵乘以向量$v$

$\left[\begin{array}{ccc}{v}_x& v_y& v_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{x}_x& x_y& x_z\\ y_x& y_y& y_z\\ z_x& z_y& z_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{v}_x^{\prime }& v_y^{\prime }& v_z^{\prime }\end{array}\right]$

可以发现，在矩阵变换向量的过程中，也完成了旋转。

应用

首先确定一个$forward$正方向，利用世界空间的$up$方向$(0,1,0)$通过叉积运算得到与$forward$正交的$right$方向，然后再利用计算得到的$right$方向通过叉积运算得到正确的$up$方向。

float3 forward = direction;
half isParallel = step(0.999, forward.y);
float3 up = isParallel * float3(0, 0, 1) + (1 - isParallel) * float3(0, 1, 0);
float3 right = normalize(cross(up, forward));
up = normalize(cross(forward, right));

在$up$的计算中，为了防止$forward$方向与世界空间的$up$方向平行得到错误的计算，加入判断选择需要使用的向量。

例如可以使用计算得到的三个基向量变换模型空间的顶点位置，以此达到旋转模型的目的：

float3 newPos = positionOS.x * right + positionOS.y * up + positionOS.z * forward;

或者构成矩阵用以旋转向量：

float3x3 rotationMatrix = float3x3(right, up, forward);

在实际使用过程中注意左乘和右乘的区别，即行向量与列向量的使用区别：
向量以行表示，则矩阵以行构建，向量以列表示，则矩阵以列构建。
$\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{l}_x& l_y& l_z\\ m_x& m_y& m_z\\ n_x& n_y& n_z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}a{l}_x+b{m}_x+c{n}_x& a{l}_y+b{m}_y+c{n}_y& a{l}_z+b{m}_z+c{n}_z\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}{l}_x& m_x& n_x\\ l_y& m_y& n_y\\ l_z& m_z& n_z\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}a{l}_x+b{m}_x+c{n}_x\\ a{l}_y+b{m}_y+c{n}_y\\ a{l}_z+b{m}_z+c{n}_z\end{array}\right]$

在Unity Shader中， float3x3(right, up, forward) 表示将向量以行向量的方式组成矩阵，故变换向量时使用 mul(vector, rotationMatrix) 方式计算，若 rotationMatrix 以列向量方式存储，故变换向量时使用 mul(rotationMatrix, vector) 方式计算。

参考

《3D数学基础：图形与游戏开发》