点积

公式

1. \(a\cdot b=\sum_{i=1}^na_ib_i\)
2. \(a\cdot b=\lVert a\rVert\lVert b\rVert\cos\theta\) ，若a，b是单位向量则\(a\cdot b=\cos\theta\)
3. \(\theta=\arccos\left(\frac{a\cdot b}{\lVert a\rVert\lVert b\rVert}\right)\)，若a，b是单位向量则\(\theta=\arccos\left(a\cdot b\right)\)

推导

根据余弦定理，可知
\(\lVert P-Q\rVert^2=\lVert P\rVert^2+\lVert Q\rVert^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
展开可得
\(\sum_{i=1}^n(P_i-Q_i)^2=\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
即
\(\sum_{i=1}^nP_i^2-2\sum_{i=1}^nP_iQ_i+\sum_{i=1}^nQ_i^2=\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2-2\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)
两边消去\(\sum_{i=1}^nP_i^2+\sum_{i=1}^nQ_i^2\)，同时两边除以-2，得
\(\sum_{i=1}^nP_iQ_i=\lVert P\rVert\lVert Q\rVert\cos\alpha\)

应用

点积结果越大，两向量越相近

a·b	θ	向量a和向量b
>0	0°≤θ＜90°	方向大致相同
=0	θ≤90°	正交（垂直）
<0	90°＜θ≤180°	方向基本相反