随笔 - 17, 文章 - 0, 评论 - 0, 阅读 - 2262

正弦定理：

\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}

余弦定理：

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ

合集 - 数学(9)

1.欧拉公式2024-09-01

2.正弦定理和余弦定理2024-09-01

3.点积2024-09-01 4.向量投影2024-09-02 5.是坐标转换，也是旋转——矩阵变换2024-09-05 6.立体角2024-09-09 7.半球积分2024-09-19 8.向量正交2024-10-24 9.正交矩阵2024-10-24

正弦定理： $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$
余弦定理： $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$

正弦定理推导：
由 $\sin α = \frac{z}{c}$ ， $\sin β = \frac{y}{c}$
得 $\frac{z}{\sin α} = \frac{y}{\sin β}$ （1）
由 $\sin (π - γ) = \frac{z}{a}$ ， $\sin (π - γ) = \frac{y}{b}$
得 $\frac{z}{a} = \frac{y}{b}$
将（1）左侧乘以 $\frac{a}{z}$ ，右侧乘以 $\frac{b}{y}$
得 $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β}$
同理，得出角 $α, β, γ$ 与边 $a, b, c$ 之间的关系为 $\frac{a}{\sin α} = \frac{b}{\sin β} = \frac{c}{\sin γ}$ ，即正弦定理。

余弦定理推导：
由图可得三角恒等式：
$x^{2} + y^{2} = b^{2}$ （1）
$(a + x)^{2} + y^{2} = c^{2}$ （2）
将（1）以 $y^{2}$ 的形式带入（2），可得
$c^{2} = (a + x)^{2} + b^{2} - x^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 a x$ （3）
由 $\cos (π - γ) = \frac{x}{b}$ ， $\cos (π - γ) = - \cos γ$ ,可得
$x = - b \cos γ$ （4）
将（4）带入（3）可得
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b c o s γ$ ，即余弦定理。