Tarjan 算法求强连通分量 学习笔记

前言

何为强连通分量？
在一个有向图中，若这个图的子图中，任意两点间可以相互到达，那么这个子图就叫做强连通分量。

Tarjan 算法求强连通分量

模板题：Luogu P2863 [USACO06JAN] The Cow Prom S

思想

Tarjan算法过程：
以下图为例做演示。

我们定义两个数组 $dfn$ 和 $low$。
含义：
$df{n}_i$：表示节点 $i$ 在 DFS 搜索时，被访问的时间点（时间戳）。
$lo{w}_i$：表示节点 $i$ 通过有向边可以回溯到的最早时间点。
我们再创建一个栈 $s$，用于存放已经被访问过的节点，用 $vi{s}_i$ 表示 $i$ 节点当前在不在栈内。
DFS 原则，先访问，后操作。

我们从一号节点开始，现将 $1$ 号节点访问，放入栈内。
q.push(1)，vis_1=1，dfn_1=low_1=1。
s：（栈顶）1（栈底）。

根据 DFS 访问顺序，再将 $2$ 号节点访问。
q.push(2)，vis_2=1，dfn_2=low_2=2。
s：（栈顶）2 1（栈底）。

访问 $3$ 号节点。
q.push(3)，vis_3=1，dfn_3=low_3=3。
s：（栈顶）3 2 1（栈底）。

访问 $4$ 号节点。
q.push(4)，vis_4=1，dfn_4=low_4=4。
s：（栈顶）4 3 2 1（栈底）。

此时整个图已经访问完毕了，然后从栈顶开始更新 $low$ 数组。

先看 $4$，$4$ 号节点可以通过一条有向边到 $2$ 号节点。
发现 $2$ 号节点的时间戳 $df{n}_2=2<df{n}_4=4$，那么此时更新 low_4=low_2=2。

再看 $3$，$3$ 号节点可以通过两条有向边（$3$ -> $4$ -> $2$）到 $2$ 号节点。
发现 $2$ 号节点的时间戳 $df{n}_2=2<df{n}_3=3$，那么此时更新 low_3=low_2=2。

然后来看 $2$，$2$ 号节点无法通过有向边回溯到更早的时间点，那么我们可以说 $2$ 号节点是一个强连通分量的起始位置，从栈顶到 $2$ 号节点都属于一个强连通分量，此时我们判断到 $lo{w}_2=df{n}_2$，那么我们进行出栈，一直出到 $2$ 位置，那么所出的所有节点都属于一个强连通分量，即 {2,3,4}。

同样地，$1$ 号节点也是一个单独的强连通分量 {1}。

重复操作，直至所有点都被更新完毕。

Code

定义 $f{a}_i$ 表示 $i$ 节点所在的强连通分量中的父亲（可以理解为一个强连通分量的代表点），$su{m}_i$ 表示 $i$ 所代表的强连通分量内有多少个点。
Code:

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N = 1e4 + 5,M = 5e4 + 5;
using namespace std;
inline int read(){
	int r = 0,w = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9'){
		if (c == '-'){
			w = -1;
		}
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9'){
		r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
		c = getchar();
	}
	return r * w;
} 
int n,m;
struct edge{
	int nxt,to;
}e[M];
int head[N],cnt = 0;;
void edge_add(int x,int y){
	cnt++;
	e[cnt].nxt = head[x];
	head[x] = cnt;
	e[cnt].to = y;
}
namespace tj{
	int tot = 0,dfn[N],low[N],fa[N],sum[N];
	bool vis[N];
	stack<int> s;
	void tarjan(int x){
		tot++;
		dfn[x] = low[x] = tot;
		vis[x] = 1;
		s.push(x);
		for (int i = head[x];i;i = e[i].nxt){
			int v = e[i].to;
			if (!dfn[v]){
				tarjan(v);
				low[x] = min(low[x],low[v]);
			}
			else if (vis[v]){
				low[x] = min(low[x],dfn[v]);
			}
		}
		if (low[x] == dfn[x]){
			int pre;
			do {
				pre = s.top();
				s.pop();
				fa[pre] = x;
				vis[pre] = 0;
				sum[x]++;
			}while (pre != x);
		}
	}
}
using namespace tj;
int main(){
	n = read(),m = read();
	for (int i = 1;i <= m;i++){
		int x = read(),y = read();
		edge_add(x,y);
	}
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (!dfn[i]){
			tarjan(i);
		}
	}
	int ans = 0;
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		if (fa[i] == i && sum[i] > 1){
			ans++;
		}
	}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}