折半搜索 学习笔记

关于算法

折半搜索，又称 meet in the middle 算法。
顾名思义，就是将整个搜索的过程分成两个部分分别进行搜索，然后再将两个部分搜索出来的答案进行合并，得到最终的答案。

dfs 搜索算法一般都是指数级别的，那么我们假如每次 dfs 时都有两种决策，那么我们执行 dfs 算法的时间复杂度为 $O(2^n)$，如果 $n$ 再稍微大一点时，就会导致超时，那么这个时候我们就会采取折半搜索。

我们来看一下下面两张图。

很容易发现，左边这一张图是普通的只执行 $1$ 次的搜索树，而右边这张图则是从两个不同的点分别出发搜索产生的搜索树。

显然，左边这一个搜索树随着层数的增加，每一层的节点数成指数级增长，最终会在最后一层的某一个节点上产生答案。（假设黄色部分表示最终答案。）
而右边的折半搜索产生的搜索树，恰巧就可以避免随着层数的不断增加导致节点数大规模增长，当第二次搜索完毕之后，和第一次搜索出来的结果进行合并操作，得到最终的答案。

那么这个时候我们的折半搜索的时间复杂度就会优化为 $O(2^{n/2})$，再加上我们合并答案的复杂度。可见相比普通的 dfs 搜索，折半搜索起到了很大的优化作用。

例题

[CEOI2015 Day2] 世界冰球锦标赛

这道题乍一看可以用背包做，但 $1\le M\le {10}^{18}$，$dp$ 数组开不了这么打，显然只能用搜索来解决。
但， $1\le N\le 40$，对于普通搜索来讲 $O(2^n)$ 的时间复杂度还是跑不了这么大的数据，那么我们考虑折半搜索。

以 $N÷2$ 为界限，先搜索前面一半，并且把前面一半的数据打表储存下来（这里储存的不是方案数，而是每种方案所花的钱，原因看下面合并），再搜索后面一半，搜索完毕后与前一半合并，记得得到最终答案。

对于折半搜索来讲，难点一般都在如何合并上，对于这一道题，显然，当我们后一半搜索完毕后，我们可以对前一半的所有结果（前一半每种方案所花的钱）进行从小到大排序，再二分查找，我们看前一半中的方案所花的钱，加上当前花的钱，超不超过 $M$，若不超过，则当钱花的钱可以和前一半所有合法的数，组成一种方案。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N = 105;
using namespace std;
inline int read(){
	int r = 0,w = 1;
	char c = getchar();
	while (c < '0' || c > '9'){
		if (c == '-'){
			w = -1;
		}
		c = getchar();
	}
	while (c >= '0' && c <= '9'){
		r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);
		c = getchar();
	}
	return r * w;
}
int n,m,arr[N],half,cnt = 0,v[1 << 24];
int ans = 0;
void dfs1(int pos,int s){
	if (pos == half + 1){
		cnt++;
		v[cnt] = s;
		return;
	}
	if (1ll * s + 1ll * arr[pos] <= m){
		dfs1(pos + 1,1ll * s + 1ll * arr[pos]);
	}
	dfs1(pos + 1,s);
}
void dfs2(int pos,int s){
	if (pos == n + 1){ // 合并。
		ans += upper_bound(v + 1,v + cnt + 1,m - s) - v - 1; // 二分查找。
		return;
	}
	if (1ll * s + 1ll * arr[pos] <= m){
		dfs2(pos + 1,1ll * s + 1ll * arr[pos]);
	}
	dfs2(pos + 1,s);
}
signed main(){
	n = read(),m = read();
	for (int i = 1;i <= n;i++){
		arr[i] = read();
	}
	half = n >> 1;
	dfs1(1,0);
	sort(v + 1,v + cnt + 1);
	dfs2(half + 1,0);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}  

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