SPFA 单源最短路算法 学习笔记

思想

SPFA 算法是对 Bellman-Ford 算法的优化。
我们令一张图中所有顶点的数量为 $n$，所有边的数量为 $m$。
在 Bellman-Ford 算法中，我们需要对每一条边进行松弛操作，所以最终复杂度为 $O(nm)$。
显然按照这种方法，可以处理含有负边权的图。

我们考虑到，在 Bellman-Ford 算法中，是否每一次松弛都使他们路径变短了，显然不是的。这就会导致浪费了许多的时间。
那么我们的 SPFA 算法正是对这一点进行了优化处理。

在 Bellman-Ford 算法中显而易见的问题是，有些松弛操作可能不会使路径变短。
那我们考虑，什么情况下一些点进行松弛操作路径会变短。
我们定义一个数组，$dis{t}_i$ 表示编号为 $i$ 的点到原点的最短距离。
显然，若 $i$ 顶点被松弛过后，$dis{t}_i$ 变短了，则 $i$ 顶点的出边所连接的顶点也会由于松弛操作而变短。
那么我们只用考虑一个顶点 $i$，若这个顶点被松弛后路径变短了，去松弛与它出边相接的顶点。

做法：
我们定义一个队列 $q$，用来存储将要松弛的顶点。
除了刚才定义的 $dist$ 数组，我们另外定义一个数组 $vis$，这里的 $vis$ 数组与 dijkstra 所表示的含义不同，这里的 $vi{s}_i$ 表示的是编号为 $i$ 的顶点当前是否在队列 $q$ 中。

我们从起始点 $s$ 开始，将 $s$ 放入队列，$vi{s}_s=1$。将与起始点的出边相接的所有点进行松弛，将 $dist$ 变短的所有顶点放入队列（初始化无穷大，起始点松弛时显然全部点都变短了），我们每次对当前顶点的所有出边连接的点进行松弛时，记得将当前点弹出队列，并取消 $vis$ 标记，因为当前点肯定已经松弛完毕了。

接下来，我们每次取出队列的第一个顶点，对当前点的所有出边连接的点进行松弛，若松弛后路径变短，并且 $vis$ 还未打上标记，则将这个点放入队列，打上 $vis$ 标记（其实 $vis$ 数组就是防止重复进入队列）。

我们重复进行该操作，直到所有顶点的 $dist$ 都是最优路径，即当队列 $q$ 为空时。

特性

显然，我们可以用 SPFA 处理含负边权的图。并且我们可以判断一个图是否存在负权回路（即一个所有边的边权和为负数的环）。
判断负权回路/负环做法：
根据 SPFA 的思想，每个点最多被其他 $n-1$ 个点各松弛一次，如果存在负环，那么一部分点就会在这个负环中无限松弛，无限缩短路径。
所以我们可以记录每个点入队的次数，若被某个点入队的次数大于等于 $n$，那么说明这个图存在负环。否则不存在负环。

代码

令一张图中所有顶点的数量为 $n$，所有边的数量为 $m$。
最坏时间复杂度 $O(nm)$。
最坏情况即所有的边都需要进行松弛。
SPFA 的最坏时间复杂度达到了 Bellman-Ford 的平均复杂度。
优化还是很不错的，但是赛时确实容易被卡。

代码实现：

int dist[N];
queue<int>q;
bool vis[N];
void SPFA(){
	memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
	dist[s] = 0;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	while (!q.empty()){
		int tmp = q.front();
		q.pop();
		vis[tmp] = 0;
		for (int i = head[tmp];i != 0;i = e[i].nxt){
			int v = e[i].to;
			int w = e[i].w;
			if (dist[v] > dist[tmp] + w){
				dist[v] = dist[tmp] + w;
				if (!vis[v]){
					q.push(v);
					vis[v] = 1;
				}
			}
		}
	}
}