摘要：
题目链接 观察形如 \(k^x\equiv r\pmod g\) 的式子，发现 \(k^x\) 在模 \(g\) 意义下一定有循环节，并且一定是一个 \(\rho\)。定义除环上点外其余点在“尾巴”上。 先考虑一个数 \(i\) 如果在环上会有什么特征（\(d=gcd(i,g)\)）： \[ i\t 阅读全文
摘要：
题目链接 把 \(a[i]\) 从大到小排个序可以发现，我们每次操作相当于把最左边一排去掉或者把最下面一排去掉（分别对应操作 $1$ 和操作 $2$）。也就相当于在下图中向右走一步或者向上走一步，先走出去的人输。 我们设 $1$ 为必胜状态， $0$ 为必败状态。显然如果一个点的上方和右边都没有点了 阅读全文
摘要：
题目链接 先考虑有一个 doge 在 $1$ 处的情况。假设另一个 doge 在 \(n\) （\(n\) 足够大），那么我们可以依次获得 \(n - 1, n - 2, 2, n - 4, 4, n - 8\cdots\)。发现这样我们可以通过二进制分解在限定次数内获得任意一个数。 再考虑一般情况 阅读全文
摘要：
题目链接 采用随机的思想，钦定一个一定对答案有贡献的数。把这个数的所有因子拿出来求个贡献就好。（随机 $10$ 次错误的概率就是 \(\frac 1 {2^{10}}\)）。 代码： #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #in 阅读全文
摘要：
题目链接 发现要求的一一映射的条件可以转化为，图中的每个点至少被树上的点映射了一次。考虑对此进行容斥，每次限定一个集合内的数不可被映射，最后乘上容斥系数。 设 \(f[x][i]\) 表示树上 \(x\) 被映射到 \(i\) 的方案数，则转移为： \[ f[x][i]=\prod \limits_ 阅读全文
摘要：
题目链接 \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m d(ij)&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j} [(x,y)= 阅读全文
摘要：
狄利克雷生成函数 定义 对于一个数论函数，设在 \(i\) 处的点值为 \(f_i\)，则定义它的狄利克雷生成函数DGF（Dirichlet Generating Function）为 \(F(x)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\frac{f_i}{i^x}\)。 根据定义 阅读全文
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luogu P4318 完全平方数 今天膜你赛的时候我想推一个 \(\sum\limits_{i=1}^n \mu^2(i)\)，结果太弱智了没推出来，然后就来看了这道题。 首先考虑二分答案。现在问题就转化为如何求上述式子。 对每个质因子的平方进行容斥，发现对于每个数容斥系数恰好是 \(u(i)\) 阅读全文
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题目链接 \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n [i,n]&= n\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{(i,n)}\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{i=1}^{n/d} i[(i,n/d)=1]\ 阅读全文
摘要：
题目链接 求 \(\sum\limits_{i=x}^n\sum\limits_{j=y}^m [(i,j)=k]\)。 根据容斥原理，可以把原始拆成形式相同的四个柿子进行计算。（以下均假设 \(n<m\)，且所有除法均为下取整） \[ \begin{aligned} \sum\limits_{i= 阅读全文