SP5971 LCMSUM - LCM Sum

题目链接

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^n [i,n]&= n\sum\limits_{i=1}^n \frac{i}{(i,n)}\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{i=1}^{n/d} i[(i,n/d)=1]\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{i=1}^d i[(i,d)=1]\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{i=1}^{d} i \sum\limits_{p|i,d} \mu(p)\\ &= n\sum\limits_{d|n} \sum\limits_{p|d} \mu(p)\times p\sum\limits_{i=1}^{d/p}i\\ &= n\sum\limits_{p|n}\mu(p)\times p\sum\limits_{d|n/p}sum(d) \end{aligned} \]

其中 \(sum(i)=1+2+\cdots+i\)。时间复杂度 \(O(nlogn)\)。