CF1106F Lunar New Year and a Recursive Sequence

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可以发现， \(f\) 数列的每一项都可以写成 \(f_k^p\) 的形式，所以可以直接在指数上跑矩阵快速幂即可。记第 \(n\) 项的系数为 \(q\)，则现在相当于解方程 \(x^q=m\pmod p\)。

由于 \(p\) 是质数，所以我们可以找到模 \(p\) 意义下的原根 \(g\)，设 \(g^t=x,g^u=m\)，代入得 \(g^{tq}=g^u\)，取离散对数得 \(tq\equiv u\pmod{m-1}\)（根据欧拉定理），然后跑个 exgcd 就做完了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#define int long long

using namespace std;

const int M=998244353,N=109,_M=M-1;
int k,b[N],n,m;
map <int,int> Map;
struct Matrix
{
	int c[N][N];
	
	void clear()
	{
		for (int i=1;i<=k;i++)
			for (int j=1;j<=k;j++)
				c[i][j]=0;
	}
	Matrix operator * (const Matrix A)const
	{
		Matrix B;B.clear();
		for (int i=1;i<=k;i++)
			for (int j=1;j<=k;j++)
				for (int l=1;l<=k;l++)
					B.c[i][j]=(B.c[i][j]+c[i][l]*A.c[l][j]%_M)%_M;
		return B;
	}
};

int ksm(Matrix A,int b)
{
	Matrix res;res.clear();
	for (int i=1;i<=k;i++)
		res.c[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=res*A;
		b>>=1,A=A*A;
	}
	return res.c[k][k];
}

int ksm(int a,int b)
{
	int res=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			res=res*a%M;
		b>>=1,a=a*a%M;
	}
	return res;
}

int read()
{
	int x=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9')
		c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')
		x=x*10+c-'0',c=getchar();
	return x;
}

void init()
{
	k=read();
	for (int i=1;i<=k;i++)
		b[i]=read();
	n=read(),m=read();
}

int BSGS(int a,int b)
{
	Map.clear();
	int Sqr=ceil(sqrt(M));
	int j=1;
	for (int i=0;i<Sqr;i++)
		Map[b*j%M]=i,j=j*a%M;
	for (int i=1,l=j;i<=Sqr;i++,l=l*j%M)
		if(Map[l])
			return i*Sqr-Map[l];
	return -1;
}

void Exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0,d=a;
		return;
	}
	Exgcd(b,a%b,d,x,y);
	int t=x;
	x=y,y=t-a/b*y;
}

void work()
{
	Matrix A;A.clear();
	for (int i=1;i<k;i++)
		A.c[i][i+1]=1;
	for (int i=1;i<=k;i++)
		A.c[k][i]=b[k-i+1];
	int ans=ksm(A,n-k);
	int X=BSGS(3,m),d,x,y;
	Exgcd(ans,_M,d,x,y);
	if(X%d!=0)
	{
		puts("-1");
		return;
	}
	int q=_M/d;
	x=(x*(X/d)%q+q)%q;
	printf("%lld\n",ksm(3,x));
}

signed main()
{
	init();
	work();
	return 0;
}