数论
前置知识：常用公式
干货来啦，这里记录了一些推柿子是使用频率很高的公式（貌似可能也不知道有没有证明），善用这些公式可以带来极大的简洁。
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\[d(ij)=\sum\limits_{x\vert i} \sum\limits_{y\vert j}[gcd(x,y)=1] \]
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设\(p_i^{e_i}\)为\(n\)的唯一分解
\[\prod\limits_{i=1}^{k}(p_i^{e_i}+1)=\sum\limits_{i|n}[(i,\frac{n}{i})=1]i \]
前置知识：推柿子小技巧
我会把自己总结的一些常用技巧扔在下面
- 改变枚举顺序，常见的有改枚举约数为枚举倍数
前置知识：常见定理
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费马小定理
若 \(p\) 为质数且 \(a,p\) 互质，则：
\[a^{p-1}\equiv 1\pmod p \]证明略。
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威尔逊定理
若 \(p\) 为质数，则 \((p-1)!\equiv -1\pmod p\)。证明略。
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二次探测定理
若 \(p\) 为质数，且 \(x^2\equiv 1\pmod p\)，则 \(x\equiv 1\pmod p\) 或 \(x\equiv -1 \pmod p\)。
证明：原式可以写为 \((x+1)(x-1)\equiv 0\pmod p\)，由唯一分解定理可知，必然有 \(x\equiv 1\pmod p\) 或 \(x\equiv -1 \pmod p\)。证毕。
莫比乌斯函数及其反演
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定义
定义莫比乌斯函数：
\[\mu(x)=\begin{cases}1,x=1\\(-1)^k,x=p_1\times p_2 \times ...\times p_k,p_i \in Prime \\ 0,otherwise\end{cases} \]可以看到，\(u(x)\)在\(x\)有平方因子时为\(0\)，否则若\(x\)的质因子个数为奇数则\(\mu(x)=-1\)，偶数则为\(1\)。
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性质
\[\mu * I = e \]其中
\[I(x)=1,e(x)=\begin{cases}1,x=1\\0,otherwise \end{cases} \] -
证明
显然
\[(\mu * I)(1)=1 \]当 \(i>1\) 时
\[(\mu * I)(i)=\sum\limits_{d|i}\mu(d) \]考虑对 \(i\) 进行质因数分解，由 \(\mu\) 的定义我们知道，\(i\) 的平方因子在这里都可以看做次数为 \(1\)，即我们可以找到 \(i'=p_1\times p_2 \times ...\times p_k\) 使得 \((\mu * I)(i)=(\mu * I)(i')\)。
思考这个 \(i'\) 的答案，带入容易知道
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例题
Min_25筛
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定义
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一些细节/补充
- 可以使用 Min_25筛 的充分条件：\(f\) 是积性函数；\(f(p^k)\) 可以快速计算（\(p\) 是质数）；\(f\) 在质数处的前缀和可以快速运算（其实这就是 Min_25筛 的第一部分，当然有时候这个东西可以直接得到，但如果不能直接计算时，要求把 \(f\) 拆成若干个完全积性函数（第一部分需要用到的性质））。
- 对于需要保存的形如 \(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor\) 的下标，我们可以以 \(\sqrt{n}\) 为界氛围两部分保存。
- \(1\) 在所有的函数中均为被算进去，最后要加上 \(1\)。、
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例题：
二项式反演
著名的二项式定理：
二项式反演就是已知：
然后推出来：
证明（在原式中带入 \(g_j\)）：
Miller_Rabin素数测试
我们钦定一个 \(a\)，对 \(p\) 做一次测试：
- 若 \(p\) 为素数，首先一定得满足费马小定理。
- 设 \(p-1=2^k\times q\)，那么 \(a^{2^k\times q}\equiv 1\pmod p\)，我们先算出 \(a^q\)，然后用二次探测定理一次一次判就好了。
若一个数通过一次测试，则它是素数的概率是 \(25\%\)，我们可以多选几个数提高准确率。
BSGS及其拓展
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BSGS
先考虑 \((a,p)=1\) 的情况：
类似分块，我们取块大小为 \(k=\lceil \sqrt p \rceil\)，那么如果有解，形式一定可以表达为 \(a^{km-i}\equiv b\pmod p\)（\(m\in N^*,0\le i<k\)）。也就是 \(a^{km}\equiv b\times a^i\pmod p\)。我们只需要预处理所有 \(k\) 个 \(b\times a^i\)（放在一个哈希表里），然后一个一个查询 \(a^{km}\) 就好了（由欧拉定理，如果 \(m> k\) 还没找到解就一定无解了）。
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ExBSGS
现在 \((a,p)\ne 1\) 了，怎么办呢？
先给出一个结论：若 \((a,p)\nmid b\) 且 \(b\ne1\)，则此方程无解（需要注意的是逆命题不一定成立）。
我们现在把无解的情况判掉，记 \(d=(a,p)\)，然后考虑做一点转化：
\[a^x\equiv b\pmod p\\ a^{x-1}\frac a d\equiv \frac b d \pmod{\frac p d}\\ a^{x-1}\equiv\frac b d(\frac a d)^{-1}\pmod{\frac p d} \]如果 \(d=1\)， 那么我们可以直接去跑 BSGS，否则我们发现每次迭代后 \(p\) 必然减小，一直迭代下去就好了。
