[学习笔记]Kruskal以及Kruskal重构树

1. $\mathrm{Kruskal}$ 最小生成树

本来觉得这个没必要写但是强迫症发作只能写了qwq
真实原因是我居然交了四发才过板子题可以说是人类之耻了
$\mathrm{Kruskal}$ 算法需要先把边按照权值进行排序，用贪心的思想优先选取权值较小的边，并依次连接
若出现环则跳过此边（用并查集来判断是否存在环）继续搜，直到已经使用的边的数量比总点数少一即可
否则将两个不同的并查集合并
看个动图就能理解了（绿边表示已选，红边表示不可选）

考虑模板

P3366 【模板】最小生成树

点击查看代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define WR WinterRain
#define int long long
using namespace std;
const int WR=1001000,mod=993244853;
struct Edge{
    int frm,to,val;
    bool operator<(const Edge&b)const{
        return val<b.val;
    }
}edge[WR<<1];
int n,m;
int tot,ans;
int fa[WR];
int read(){
	int s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-') w=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		s=(s<<1)+(s<<3)+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}
void add(int u,int v,int val){
    edge[++tot].frm=u;
    edge[tot].to=v;
    edge[tot].val=val;
}
int getfa(int x){
    if(fa[x]==x) return x;
    return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
signed main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int u=read(),v=read(),val=read();
        add(u,v,val);add(v,u,val);
    }
    sort(edge+1,edge+1+tot);
    for(int i=1;i<=tot;i++){
        int u=edge[i].frm,v=edge[i].to,val=edge[i].val;
        int fau=getfa(u),fav=getfa(v);
        if(fau==fav) continue;
        fa[fau]=fav;
        ans+=val;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(getfa(i)!=fa[1]){
            printf("orz\n");
            return 0;
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

然后我们考虑

2. $\mathrm{Kruskal}$ 重构树

考虑下图

显然地，这张图的最小生成树是

其实建重构树的过程差不多，一共两步循环操作

1. 将所有边按边权从小到大排序
2. 每次找最小的一条边，如果条边相连的两个点在同一个集合中，那么就跳过，否则就将这两个点的祖先都连到一个虚点上去，让这个虚点的点权等于这条边的边权

所以理论上最后建出来的的重构树是这样的：

这棵树有很多独特的性质

1. 原本最小生成树上的点在重构树里都是叶节点
2. 从任何一个点往根上引一条路径，这条路径经过的点的点权单调不降（最大生成树单调不升）
3. 任意两点之间路径的最大边权就是他们的 $\mathrm{LCA}$ 的点权